===== Séminaire de probabilités et mathématiques financières =====
Séminaire bi-mensuel depuis septembre 2022 avec 2 exposés une semaine sur deux : premier exposé à 14h - Pause Café - deuxième exposé à 15h20.
__Lieu__ : Bât. I.B.G.B.I., 23 Bd. de France, salle de séminaire au 3ème étage (sauf contre-indication) \\
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__Contact__ : **[[https://web4.ensiie.fr/~cyril.benezet/|Cyril Bénézet]]** , **[[https://goudenege.perso.math.cnrs.fr/output/|Ludovic Goudenège]]** , **[[https://math.maths.univ-evry.fr/kahmed/index.html|Ahmed Kebaier]]** , **[[http://www.math-evry.cnrs.fr/members/dloukianova/welcome|Dasha Loukianova]]** , **[[https://sites.google.com/site/sergiopulidonino/|Sergio Pulido]]** et **[[https://sites.google.com/view/zhenjie-ren/accueil|Zhenjie Ren]]** . \\
**__Exposés de l'année 2024__ :**
**jeudi 12 décembre à 15h15 :** Mattéo d'Achille (Orsay) //Facettes du hasard : géométrie, mécanique statistique et problèmes d'assignation.//++ Voir résumé | \\ RÉSUMÉ:
Je présenterai trois résultats :
- La convergence de la mosaïque de Poisson-Voronoï de l'espace hyperbolique vers sa mosaïque de Poisson-Voronoï idéale dans la limite de faible intensité, et le modèle de deposition associé;
- La description de la limite locale d'une composante de la foret massique du graph complet;
- La loi asymptotique du carré de la distance de Wasserstein-2 entre les mesures empiriques de deux processus binomiaux indépendants sur le cercle unité.
L'exposé n'a pas de prérequis et pourrait s'attarder davantage sur l'un (ou plusieurs) de ces résultats en fonction des préférences du public.
Quelques mots-clés: processus ponctuel de Poisson, limites locales, problème de Monge-Kantorovitch discret
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**jeudi 5 décembre à 14h40 :** Pierre Le Bris (IHES) //On uniform in time propagation of chaos.//++ Voir résumé | \\Propagation of chaos is a phenomenon according to which, in a system of N interacting particles, two given particles become « more and more » independent as N goes to infinity. Proving such a phenomenon, with hopefully a quantitative rate, allows one to boil down the study of large systems of particles to the study of a single (non-linear) PDE, thus going from a microscopic model to a mesoscopic one. Obtaining uniform in time results, i.e understanding how this convergence in N evolves with time, is then an important problem in practice, and strongly linked to the long-time behavior of the various models. During this talk, I will be discussing some recent results and methods.
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**jeudi 5 décembre à 15h20 :** Chenjiayue Qi (IHES) // Global Solution of a Functional Hamilton-Jacobi Equation associated with a Hard Sphere Gas.//++ Voir résumé | \\In recent years it has been shown for hard sphere gas that, by retaining the correlation information, dynamical fluctuation and large deviation of empirical measure around Boltzmann equation could be proved, in addition to the classical kinetic limit result by Lanford. After taking low-density limit, the correlation information can be encoded into a functional Hamilton-Jacobi equation. The results above are restricted to short time. In this talk, we establish global-in-time construction of a solution of the Hamilton-Jacobi equation, by analyzing a system of coupled Boltzmann equations. The global solution converges to a non-trivial stationary solution of the Hamilton-Jacobi equation in the long-time limit under proper assumptions. This talk is based on arxiv:2409.02805.
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**jeudi 21 novembre à 14h :** Tony Lelièvre (CERMICS, Ecole des Ponts et des Chaussées) // Finding saddle points of energy landscapes: why and how?//++ Voir résumé | \\The motivation of this presentation comes from the analysis of metastable stochastic process in statistical physics. One way to bridge the scale between full atomistic models and more coarse-grained descriptions is to use Markov State models parameterized by the Eyring Kramers formulas. These formulas give the hopping rates between local minima of the potential energy function. They require to identify the local minima and saddle points of the potential energy function. This approach is for example used in materials science (kinetic Monte Carlo models).
In this talk, I will first present a recent result obtained in collaboration with D. Le Peutrec (Université d'Orléans) and B. Nectoux (Université Clermont Auvergne) about the mathematical foundations of this approach, by deriving these Eyring-Kramers exit rates starting from the overdamped Langevin dynamics [1]. I will then introduce a recent algorithm we proposed together with P. Parpas (Imperial College London) in order to locate saddle points [2]. I will explain why these two works both rely on concentration properties of the eigenvectors of Witten Laplacians, in the small temperature regime.
References:
[1] TL, D. Le Peutrec and B. Nectoux, Eyring-Kramers exit rates for the overdamped Langevin dynamics: the case with saddle points on the boundary, https://arxiv.org/abs/2207.09284.
[2] TL, P. Parpas, Using Witten Laplacians to locate index-1 saddle points, to appear in SIAM Journal on Scientific Computing https://arxiv.org/abs/2212.10135.
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**jeudi 7 novembre à 14h :** Pierre Monmarché (LJLL, Sorbonne Université) // Taux de convergence locale pour les descentes de gradients Wasserstein.//++ Voir résumé | \\L'équation des milieux granulaires est une EDP non-linéaire obtenue dans la limite champ moyen d'un système de particules de Langevin en interaction. Elle peut être interprétée comme la descente de gradient dans un espace de probabilités d'une certaine énergie libre. Pour de tels flots gradients, il est connu qu'une convergence exponentiellement rapide vers le minimum global de l'énergie libre est impliquée par une inégalité fonctionnelle reliant l'énergie libre à sa dissipation (qui généralise à ce cadre non-linéaire l'inégalité classique dite de log-Sobolev). Cependant une telle inégalité n'a aucune chance d'être satisfaite quand l'EDP admet des solutions stationnaires autre que les minimiseurs globaux de l'énergie libre, ce qui est par exemple le cas pour l'équation des milieux granulaires dans un double puit avec interaction attractive en-deça d'une température critique. Basé sur un travail récent avec Julien Reygner, on montrera comment des inégalités fonctionnelles locales peuvent néanmoins être établies dans ce contecte, impliquant des taux de convergence locale pour des conditions initiales dans une boule Wasserstein centrée sur les minimiseurs locaux. En pratique, ceci implique également que l'énergie libre du système de particules approchant le flot décroît rapidement en-dessous du niveau du minimiseur local, à un terme d'erreur près. La même analyse s'applique au cas cinétique (c'est-à-ditre pour l'équation de Vlasov-Fokker-Planck).
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**jeudi 7 novembre à 15h20 :** Benoît Nieto (CMAP, Ecole polytechnique benoit.nieto@polytechnique.edu) // Multi-Mean Reverting Processes: Statistical Approaches.//++ Voir résumé | \\Dans cette présentation, nous nous intéressons aux processus à multiples retours à la moyenne. Nous allons aborder l'estimation des paramètres du processus d'Ornstein-Uhlenbeck (OU), qui admet un retour à la moyenne. Pour cela, nous proposons un estimateur basé sur les observations du supremum, en utilisant une méthode de pseudo-vraisemblance. Nous démontrerons la consistance et la normalité asymptotique de cet estimateur, et nous illustrerons son efficacité à travers des données simulées et réelles.
Nous parlerons également brièvement du processus CKLS à seuil, qui admet plusieurs retours à la moyenne, en discutant des méthodes d'estimation des paramètres de dérive et de volatilité, ainsi que des avantages d'une modélisation à plusieurs seuils.
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**jeudi 17 octobre à 14h :** Christophe Profeta (LaMME) // Sur le déplacement maximal de certains processus de Lévy branchants.//++ Voir résumé | \\On considère un processus de branchement markovien dans lequel les particules évoluent indépendamment comme des processus de Lévy spectralement négatifs. L'objectif de cet exposé est d'étudier la position maximale atteinte par une particule dans deux situations où le processus s'éteint p.s. On s'intéressera tout d'abord au cas où la loi de reproduction est critique ou sous-critique, puis ensuite au cas surcritique, mais en présence d'une barrière absorbante.
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**jeudi 17 octobre à 15h20 :** Thi Bao Tram Ngo (LaMME) // Efficient estimation of stable-Lévy SDEs with constant scale coefficient.//++ Voir résumé | \\The joint parametric estimation of the drift coefficient, the scale coefficient, and the jump activity index in stochastic differential equations driven by a symmetric stable Lévy process are considered based on high-frequency observations. Firstly, the LAMN property for the corresponding Euler-type scheme is proven, and lower bounds for the estimation risk in this setting are deduced. Therefore, when the approximation scheme experiment is asymptotically equivalent to the high-frequency observation of the solution of the considered stochastic differential equation, these bounds can be transferred. Secondly, since the maximum likelihood estimator can be time-consuming for large samples, an alternative to Le Cam's one-step procedure is proposed in the general setting. It is based on an initial guess estimator, which is a combination of generalized variations of the trajectory for the scale and the jump activity index parameters and a maximum likelihood type estimator for the drift parameter. This proposed one-step procedure is shown to be fast, asymptotically normal, and even asymptotically efficient when the scale coefficient is constant. In addition, the performances in terms of asymptotic variance and computation time on samples of finite size are illustrated with simulations. Some perspectives are given for stable-Lévy SDEs with non-constant scale coefficient.
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**jeudi 27 juin à 14h :** Elisa Marini(Université de Padoue) // Strong propagation of chaos for systems of interacting particles with nearly stable jumps//++ Voir résumé | \\We consider a system of $N$ interacting particles, described by SDEs driven by Poisson random measures, where the coefficients depend on the empirical measure of the system. Every particle jumps with a rate depending on its position. When this happens, all the other particles of the system receive a small random kick which is distributed according to a heavy tailed random variable belonging to the domain of attraction of an $\alpha$-stable law and scaled by $N^{-1/\alpha}$, $\alpha \in (0,2)\setminus \{1\}$. We call these jumps collateral jumps. Moreover, in case $0<\alpha<1$, the jumping particle itself undergoes a macroscopic, main jump. Similar systems are employed to model families of interacting neurons and, in that context, main and collateral jumps represent respectively the hyperpolarization of a neuron after a spike and the synaptic inputs received by post-synaptic neurons from pre-synaptic ones.
We prove that our system has the conditional propagation of chaos property: as $N\to +\infty$, the finite particle system converges to an infinite exchangeable system which obeys a McKean-Vlasov SDE driven by an $\alpha$-stable process, and particles in the limit system are independent, conditionally on the driving $\alpha$-stable process.
Joint work with Eva Löcherbach and Dasha Loukianova.
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**jeudi 13 juin à 14h :** Aurélien Vélléret(INRAE) // Percevoir les frontière de la métastabilité sur base des résultats de
convergence quasi-stationnaire//++ Voir résumé | \\Dans le cadre du postdoctorat que j'engage avec Dasha Loukianova, je
vais m'investir à caractériser la persistance et la stabilité de
processus d'interaction qui évoluent au sein d'une grande population de
particules. Parmi ces processus, avec une perspective d'abord en
écologie théorique, j'ai considéré des dynamiques de compétition entre
des lignages de cellules, puis les dynamiques de propagation d'infection
entre individus avec une perspective d'épidémiologie. Avec l'expérience
notamment de Dasha, je me tournerai vers des dynamiques de signaux
cognitifs entre neurones.
Tous ces processus ont un point commun crucial. La prise en compte de la
variabilité aléatoire des interactions au niveau des particules induit
un événement d'extinction inéluctable du processus interne (par la mort
de la population ou la disparition de son hétérogénéité interne en
écologie, par l'éradication de la maladie en épidémiologie). Dans un
régime métastable, un tel événement d'extinction est cependant
suffisamment atypique pour qu'une dynamique de stabilisation puisse
s'observer.
Pour de tels systèmes de particules, une approche classique pour
justifier rigoureusement une telle propriété de métastabilité consiste à
établir que le temps d'extinction converge pour une grande taille de
population vers une variable aléatoire sans mémoire (donc de loi
exponentielle, en ajustant l'échelle de temps). Peut-on décrire une
caractérisation plus riche, qui compare ce temps d'extinction à un
régime de stabilisation?
Je suis convaincu de l'intérêt de s'appuyer sur les principes de
propriétés de convergence telles que permises par l'analyse de la
quasi-stationnarité. Je vous présenterai les critères que j'ai développé
à ce sujet et que j'envisage d'approfondir pour ce type de processus
d'interaction.
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**jeudi 13 juin à 15h30 :** Jean-François Chassagneux (LPSM, Université Paris Cité) // Computing the stationary measure of McKean-Vlasov SDEs//++ Voir résumé | \\Under some confluence assumption, it is known that the stationary distribution of a McKean-Vlasov SDE is the limit of the empirical measure of its associated self-interacting diffusion. Our numerical method consists in introducing the Euler scheme with decreasing step size of this self-interacting diffusion and seeing its empirical measure as the approximation of the stationary distribution of the original McKean-Vlasov SDEs.
This simple approach is successful (under some raisonable assumptions...) as we are able to prove convergence with a rate for the Wasserstein distance between the two measures both in the L2 and almost sure sense. In this talk, I will first explain the rationale behind this approach and then I will discuss the various convergence results we have obtained so far. This is a joint work with G. Pagès (Sorbonne Université)
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**jeudi 25 avril à 14h :** Allesandro Bondi ( CMAP, Ecole Polytechnique ) // A sharp càdlàg property for jump diffusions and dynamic programming principle.//++ Voir résumé | \\ https://drive.google.com/file/d/1INgcrfcUTj69_Tn1bwnOuiDjIW4zOMXl/view.
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**jeudi 28 mars à 14h :** hélène halconruy ( Telecom Paris Sud) //Estimation du drift dans des trajectoires IID d'une EDS avec sauts.//++ Voir résumé | \\ sautsL’objectif de ce travail en collaboration avec N. Marie est l’estimation de de la fonction de drift dans une équation différentielle stochastique (EDS) dirigée par un processus de diffusion à sauts. L’estimateur des moindres carrés par projection étudié est calculé à partir de copies indépendantes du processus de solution observé sur un certain intervalle de temps fixé. Cette approche diffère des travaux précédents sur le sujet proposant des estimateurs calculés à partir d’une seule trajectoire solution de l’EDS, en temps long tels que Schmisser (2014), Gloter, Lioukanova et Mai (2018), Amorino et al. (2022) ou à haute fréquence, sur un intervalle de temps fixé comme dans Clément et Gloter (2019, 2020). Au cours de cet exposé, je présenterai procédure d’estimation, la borne de risque qui en dérive ainsi qu’une inégalité d'oracle pour l'estimateur adaptatif associé.
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**jeudi 14 mars à 14h00 :** Catherine Larédo ( INRA, Paris) //Inférence paramétrique pour les SDI McKean Vlasov ergodiques.//++ Voir résumé | \\ On considère une EDS de McKean Vlasov à valeurs réelles pour laquelle les termes de potentiel et d'interaction dépendent de paramètres inconnus. On suppose que le processus est en régime stationnaire et que la trajectoire est observée de façon continue sur l'intervalle due temps [0, 2T]. La vraisemblance exacte existe en théorie mais d"pend de la loi stationnaire. Cette loi n'étant pas explicite, cette vraisemblance ne permet pas de construire des estimateurs calculables. Pour surmonter ce problème, nous construisons un estimateur à noyau de la loi invariante à partir de la trajectoire observée sur l'intervalle [0,T]. Nous obtenons la convergence de cet estimateur à la vitesse racine de T, ainsi que des propriétés nouvelles e cet estimateur nécessaires pour notre étude. Nous construisons ensuite la vraisemblance approchée explicite qui repose sur l'observation de la trajectoire sur l'intervalle [T, 2T] et inclue l'estimateur à noyau de la loi invariante. Ceci nous permet d'étudier les propriétés des estimateurs des paramètres inconnus associées. Nous démontrons leurs consistance et leur normalité asymptotique à la vitesse racine de T, quand T tends vers l'infini.
Enfin nous illustrons ces résultats sur plusieurs classes de modèles.
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**jeudi 14 mars à 15h20 :** Jürgen Angst ( Telecom Paris Sud) //Sur les zéros des polynômes trigonométriques aléatoires.//++ Voir résumé | \\ dans cet exposé, on cherche à décrire l'asymptotique en grand degré du nombre de zéros réels de polynômes trigonométriques aléatoires. En particulier, on s'intéresse à l'universalité de cette asymptotique, i.e. on cherche à comprendre en quoi elle dépend ou non du type d'aléa sous-jacent. Après un tour d'horizon des résultats connus, on se concentrera sur le cas des polynômes de Littlewood, i.e. les polynômes trigonométriques dont les coefficients sont à valeurs dans plus ou moins un.
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**jeudi 29 février à 14h :** Marc Hoffmann( Cérémade, Université Paris Dauphine) //Nonparametric estimation for interacting particle systems : McKean-Vlasov models.//++ Voir résumé | \\ We consider a system of N interacting particles, governed by transport and diffusion, that converges in a mean-field limit to the solution of a McKean-Vlasov equation. From the observation of a trajectory of the system over a fixed time horizon, we investigate nonparametric estimation of the solution of the associated nonlinear Fokker-Planck equation, together with the drift term that controls the interactions, in a large population limit N ----> infinity.
We build data-driven kernel estimators and establish oracle inequalities, following Lepski's principle. Our results are based on a new Bernstein concentration inequality in McKean-Vlasov models for the empirical measure around its mean, possibly of independent interest. We obtain adaptive estimators over anisotropic Hölder smoothness classes built upon the solution map of the Fokker-Planck equation, and prove their optimality in a minimax sense. In the specific case of the Vlasov model, we derive an estimator of the interaction potential and establish its consistency.
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**jeudi 15 fevrier à 14h00 :** Zhenjie REN ( CEREMADE ) //Uniform-in-time Propagation of Chaos for Mean Field Langevin Dynamics.//++ Voir résumé | \\ In recent times, there has been a growing interest in the study of Mean-field Langevin (MFL) dynamics, primarily due to its natural application in training two-layer neural networks. To simulate the MFL dynamics' invariant distribution, one relies on the corresponding $N$-particle system, hoping that the error between the particle system and the mean-field dynamics remains small over an extended period. Our recent research focuses on the uniform-in-time propagation of chaos for the MFL dynamics with convex mean-field potential, motivated by this observation. We establish that this holds true for the $L_2$-Wasserstein distance and relative entropy under mild conditions.
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**jeudi 15 fevrier à 15h20 :** Thomas Cavalazzi ( ........ ) //Propagation of chaos for mean-field systems with stable Lévy noise..//++ Voir résumé | \\ In this talk, we will deal with McKean-Vlasov Stochastic Differential Equations (SDEs) driven by $\alpha$-stable processes, with $\alpha \in (1,2)$. We make Hölder-type assumptions on the coefficients, with respect to both space and measure variables. We will study the associated semi-group, acting on functions defined on the space of probability measures, through the related backward Kolmogorov Partial Differential Equation (PDE) describing its dynamics. We will focus in particular on its regularizing properties. The study relies on differential calculus for functions defined on the space of measures, and on Itô's formula along flows of marginal distributions of jump processes defined with Poisson random integrals. We will finally use the preceding tools to prove quantitative weak propagation of chaos for the mean-field interacting particle system associated with the McKean-Vlasov SDE.
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**jeudi 1 fevrier à 14h :** Pierre-André Zitt ( LAMA, Université Gustave Eifell) //Vaccinations dans un modèle d'épidémie en milieu inhomogène.//++ Voir résumé | \\ Le modèle SIS (Susceptible-Infected-Susceptible) est une équation différentielle unidimensionnelle classique pour modéliser la propagation d'une épidémie dans une population homogène ; ce modèle fait apparaître un phénomène de seuil sur ses paramètres, menant à l'extinction ou la stabilisation de l'épidémie.
Nous généraliserons ce modèle à une population inhomogène, en dimension finie ou infinie, en nous intéressant particulièrement à la diversité des stratégies de vaccination que cette généralisation suggère. Travaux en commun avec J.-F. Delmas et D. Dronnier.
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**jeudi 1 fevrier à 15h20 :** Laure Coutin (Université Paul Sabatier) //Méthode de Stein fonctionnelle.//++ Voir résumé | \\ La méthode de Stein introduite par C. Stein en 1970, généralisée par L.
H.Y Chen en 1975 permet d'estimer la distance d'une variables aléatoire
à une loi gaussienne. Elle a fait depuis l'objet de nombreux
développements (voir par exemple le livre de I. Nourdin et G. Peccati).
Dans cet exposé nous présenterons des applications récentes à la
quantification de vitesse de convergence dans des théorèmes de type
Donsker et/ou de limite fluide de fonctionnelles de Poisson.
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**jeudi 18 janvier à 14h :** Paul Gassiat (CEREMADE) //Un flot de gradient sur l'espace des contrôles avec condition initiale irrégulière.//++ Voir résumé | \\ On considère un problème de contrôle consistant à trouver une trajectoire reliant un point initial x à un point cible y, le système se déplaçant uniquement dans certaines directions admissibles. On suppose que les champs de vecteurs correspondants satisfont la condition de Hörmander, de telle sorte que par un théorème classique (Chow-Rashevskii), il existe des trajectoires qui satisfont cette contrainte. Une manière naturelle d'essayer de résoudre ce problème est via un flot de gradient sur l'espace des contrôles. Cependant, la dynamique correspondante peut avoir des point-selles, et pour obtenir un résultat de convergence il faut donc faire des hypothèses (par exemple probabilistes) sur la condition initiale. Dans ce travail, nous considérons le cas où cette initialisation est irrégulière, que nous formulons grâce à la théorie des trajectoires rugueuses de Lyons. Dans des cas simples, on prouve que le flot de gradient converge vers une solution, si la condition initiale est une trajectoire d'un mouvement Brownien (ou d'un processus de régularité plus faible). La preuve combine des idées de calcul de Malliavin avec des inégalités de Łojasiewicz. Une motivation possible pour nos travaux vient de l'entraînement de réseaux de neurones résiduels profonds, dans un régime où le nombre de paramètres par couche est fixé, et la dimension du vecteur de données est élevée. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Florin Suciu (Paris Dauphine).
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**__Exposés de l'année 2023__ :**
**jeudi 14 décembre à 14h :** Yadh Hafsi ( LaMME, UEVE ) //Uncovering Market Disorder and Liquidity Trends Detection.//++ Voir résumé | \\ We propose a new methodology to detect notable changes in liquidity within an order-driven market. As part of our approach, we employ Marked Hawkes processes to model trades-through which constitute our liquidity proxy. Subsequently, our focus lies in accurately identifying the moment when a significant increase or decrease in its intensity takes place. We consider the minimax quickest detection problem of unobservable changes in the intensity of a doubly-stochastic Poisson process. The goal is to develop a stopping rule that minimizes the robust Lorden criterion, measured in terms of the number of events until detection. We prove our procedure's optimality in the case of a Cox process with simultaneous jumps while considering a finite time horizon. Finally, this novel approach is empirically validated using real market data analyses.
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**jeudi 14 décembre à 15h20 :** Ludovic Goudenège (Centrale Supélec ) //Existence de solutions pour des EDP stochastiques singulières dissipatives et à dérive distributionnelle.//
++ Voir résumé | \\ Dans une première partie, je présenterai les résultats récents de vitesse de convergence forte d'un schéma numérique pour l'équation de la chaleur stochastique dirigée par un bruit blanc espace-temps et possédant une dérive distributionnelle. La démonstration s'appuie sur des lemmes de coutures stochastiques.
Je présenterai ensuite des illustrations numériques de simulations de l'équation de la chaleur stochastique avec des peignes de Dirac comme dérive.
Dans une dernière partie plus exploratoire, je montrerai comment obtenir l'existence de solutions à des EDP stochastiques perturbées par des dérives distributionnelles, mais également possédant une partie non-linéaire dissipative, one-sided Lipschitz plus exactement.
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**jeudi 30 novembre à 14h :** Alexandre Richard ( Université Paris-Saclay, Centrale Supélec ) //Convergence quantitative de systèmes de particules vers les équations de Burgers et Keller-Segel.//
++ Voir résumé | \\ Dans cet exposé, je présenterai dans un premier temps un résultat de convergence pour des systèmes de particules en interaction modérée, qui interagissent au travers de noyaux localement intégrables, comme par exemple le noyau de Keller-Segel issu de modèles de chimiotaxie. On montrera une vitesse de convergence vers l’EDP, ainsi qu’un résultat de propagation du chaos.
Ensuite, on se concentrera sur un système de particules convergeant vers l’équation de Burgers. Formellement, les particules doivent interagir deux à deux au travers d’un Dirac. En pratique, nous régularisons cette interaction pour obtenir des particules en interaction modérée, à la Oelschläger. On obtient une vitesse de convergence de la mesure empirique régularisée du système vers la solution de l’EDP de Burgers avec viscosité, dans une norme Bessel, et on déduit une convergence de la mesure empirique en distance de Wasserstein.
Travail en collaboration avec C. Olivera (Unicamp) et M. Tomasevic (Polytechnique).
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**jeudi 30 novembre à 15h20 :** Mouna Ben Derouich ( LAGA, Université Sorbonne Paris Nord ) //Multilevel Monte Carlo Methods and Gaussian process regression for pricing barrier options.//
++ Voir résumé | \\ The first part of this talk focuses into the convergence of the MLMC estimator's variance for pricing barrier options under the Heston model. A Semi-Exact Euler scheme is introduced for the log-Heston model, precisely simulating its variance process. The associated MLMC method's variance for pricing Barrier option variance is analyzed, along with the development of a controllable numerical approximation. Notably, no existing research explores extreme path arguments' validity in analyzing the MLMC method for pricing barrier options under a d-dimensional model with $d>1$.
The second part investigates the Gaussian process regression (GPR) method, renowned for accelerating classical pricing routines with maintained precision, for computing prices and sensitivities of barrier options under the Heston model. Performance enhancement of the GPR method is demonstrated when trained with a Monte Carlo method utilizing the Brownian bridge technique. The drift implicit scheme emerges as the most efficient among tested pricing methods. Additionally, the study assesses the efficiency of analytical formulas provided by the trained GPR for computing Delta and Vega sensitivities under the log-Heston model.
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**jeudi 16 novembre à 14h :** Pierre Monmarché (Laboratoire Jacques-Louis Lions) // Bornes non-asymptotiques pour Monte Carlo Hamiltonien et Langevin cinétique.//
++ Voir résumé | \\ On présentera des bornes de complexité non-asymptotiques pour une famille d'échantillonneurs MCMC basés sur des schémas de splitting pour la dynamique Hamiltonienne ou la diffusion de Langevin cinétique, sous l'hypothèse que la mesure cible satisfait une inégalité de log-Sobolev. Les estimées sont explicites et ont une dépendance optimale en les différents paramètres du problème (pas de temps, constante de log-Sobolev, dimension...). La preuve est basée sur une adaptation à temps discret de la méthode d'entropie modifiée de Villani.
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**jeudi 16 novembre à 15h20 :** Huyên Pham Université Paris 7 (LPSM) // Nonparametric generative modeling for time series via Schrödinger bridge.//
++ Voir résumé | \\We propose a novel generative model for time series based on Schrödinger bridge (SB) approach. This consists in the entropic interpolation via optimal transport between a reference probability measure on path space and a target measure consistent with the joint data distribution of the time series. The solution is characterized by a stochastic differential equation on finite horizon with a path-dependent drift function, hence respecting the temporal dynamics of the time series distribution. We estimate the drift function from data samples by nonparametric, e.g. kernel regression methods, and the simulation of the SB diffusion yields new synthetic data samples of the time series.
The performance of our generative model is evaluated through a series of numerical experiments. First, we test with autoregressive models, a GARCH Model, and the example of fractional Brownian motion, and measure the accuracy of our algorithm with marginal, temporal dependencies metrics, and predictive scores. Next, we use our SB generated synthetic samples for the application to deep hedging on real-data sets.
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**jeudi 15 juin à 14h :** Nicolas Marie(Université Paris Nanterre)//De la régression non-paramétrique à la statistique des diffusions non-ergodiques..//
++ Voir résumé | \\ L’objectif de cet exposé est de présenter, en général, une approche récente de l’estimation dans les équations différentielles stochastiques basée sur des copies de la solution, puis de présenter des résultats sur un estimateur non-paramétrique en particulier ; l’estimateur des moindres carrés en projection de la fonction de drift.
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**jeudi 9 février à 15h20 :** Phuong Thuy Vo (ENSIIE) //From micro to macro approaches in the long-term evolution of phenotypic traits.//
++ Voir résumé | \\On the macroscopic scale, various mathematical models have been used for describing the evolution of phenotypic traits. Traditionally, it is modeled by the Markov process with diffusion such as Brownian motions, (stochastic) differential equations (Orstein-Ulehnbeck’s equation,...) and some- times diffusion with jumps. These models allow us to study the modes and the speeds of traits evolution from the observed traits of fossil or real species. Despite the massive utilization of these comparative approaches, the interpretation and justification in terms of micro-evolutionary mechanisms (mutation, dispersion, adaptation, genetic divergence, introgression, genetic flow) is still vague by the absence of mathematical results identifying the deterministic and stochastic patterns of the microscopic dynamic of genotypes in the macroscopic evolutionary of phenotypes. In this work, we develop a microscopic model, in which the phenotype traits are configured by species genetic structured. We aim to study the long-term evolution of the phenotypic traits in different timescales and analyse the impacts of micro-mechanisms on the macro-evolution process in nature.
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**jeudi 26 janvier à 14h00 :** Nizar Touzi Ecole Polytechnique (CMAP) //Mean field optimal stopping.//
++ Voir résumé | \\ We study the optimal stopping problem of McKean-Vlasov diffusions when the criterion is a function of the law of the stopped process. The mean field stopping problem is introduced in weak formulation in terms of the joint marginal law of the stopped underlying process and the survival process. Using the dynamic programming approach, we provide a characterization of the value function as the unique viscosity solution of the corresponding dynamic programming equation on the Wasserstein space. Under additional smoothness condition, we provide a verification result which characterizes the nature of optimal stopping policies, highlighting the crucial need to randomized stopping. Finally, we establish the convergence of the finite population multiple optimal stopping problem to the corresponding mean field optimal stopping limit. These results of propagation of chaos are proved by adapting the Barles-Souganidis monotonic scheme method to the present context.
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**jeudi 26 janvier à 15h20 :** Alexandre Pannier Université Paris-Cité (LPSM) //Rough volatility, path-dependent PDEs and weak rates of convergence.//
++ Voir résumé | \\We first prove a path-dependent Feynman-Kac formula for stochastic Volterra equations, based on the functional Itô formula developed by Viens, F., & Zhang, J. (2019). We then leverage on these tools to study weak rates of convergence for discretised stochastic integrals of smooth functions of a Riemann-Liouville fractional Brownian motion with
Hurst parameter $H \in (0,1/2)$. These integrals approximate log-stock prices in rough volatility models. We obtain weak error rates of order $1$ if the test function is quadratic and of order~$H+1/2$ for smooth test functions.
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**jeudi 12 janvier à 14h :** Nicolas Fournier (LPSM)//Systèmes de particules pour l'équation de Keller-Segel dans le plan. Issu de travaux avec B. Jourdain, avec Y. Tardy et avec M. Tomasevic.//
++ Voir résumé | \\ L'équation de Keller-Segel décrit le mouvement de cellules par chimiotaxie. Les cellules diffusent dans le plan, et émettent un produit chimique.
Ce produit, qui diffuse aussi, attire les cellules. Ceci conduit à une interaction relativement singulière entre les cellules (via le produit).
Cette interaction est critique au sens où, selon les valeurs des constantes, il peut y avoir existence globale d'une solution, où
formation d'un amas de cellules en temps fini. On parlera de l'approximation de cette équation par des systèmes de particules stochastiques,
dans le cas elliptique, où le produit diffuse instantanément, et dans le cas parabolique, où
le produit diffuse à une vitesse finie. La difficulté provient de la singularité de l'attraction.
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**__Exposés de l'année 2022__ :**
**jeudi 8 décembre à 15h20 :** Eva Löcherbach (Université Paris 1)//Vitesse de convergence forte pour la propagation du chaos dans des systèmes de neurones en interactions dans un régime diffusif //
++ Voir résumé | \\ Nous considérons un système de neurones en interactions avec des poids synaptiques aléatoires centrés, dans un régime diffusif. Je discuterai d'abord le comportement du système en grande population, qui est caractérisé par la propriété de propagation du chaos conditionnelle. Ensuite j'expliquerai comment des techniques de couplage dues à Komlos-Major-Tusnady, associée à une discrétisation en temps type schéma d'Euler, permettent d'obtenir une vitesse de convergence explicite pour l'erreur forte. C'est un travail en collaboration avec Dasha Loukianova et Xavier Erny.
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**jeudi 8 décembre à 14h :** Eulalia NUALART (Universitat Pompeu Fabra)// On the implied volatility of Asian options under stochastic volatility models //
++ Voir résumé | \\ In this talk we study the short-time behavior of the at-the-money implied volatility for arithmetic Asian options with fixed strike price.
The asset price is assumed to follow the Black-Scholes model with a general stochastic volatility process.
Using techniques of the Malliavin calculus such as the anticipating It\^o's formula we first compute the level of the implied volatility of the option when the maturity converges to zero.
Then, we find a short maturity asymptotic formula for the skew of the implied volatility that depends on the roughness of the volatility model. We apply our general results to the SABR model
and the rough Bergomi model, and provide some numerical simulations that confirm the accurateness of the asymptotic formula for the skew. Joint work with Elisa Alòs and Makar Pravosud..
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**jeudi 24 novembre à 15h20 :** Dasha LOUKIANOVA (Université Evry)// In law " ergodic theorem for the environment viewed from Sinaï's walk. //
++ Voir résumé | \\ For Sinaï's walk $(X_k)$ we show that the empirical measure of the environment seen from the particle $(\bar\w_k)$ converges in law to some random measure. This limit measure is
explicitly given in terms of the infinite valley, which construction goes back to Golosov.
As a consequence an "in law" ergodic theorem holds for additive functionals of the environment's chain $(\bar\w_k)$.
When the limit in this theorem is deterministic, it holds in probability. This allows some extensions to the recurrent case of the ballistic "environment's method" dating back to Kozlov and Molchanov. In particular, we show an LLN and a mixed CLT for the sums $\sum_{k=1}^nf(\Delta X_k)$ where $f$ is bounded and
depending on the steps $\Delta X_k:=X_{k+1}-X_k$.
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**jeudi 24 novembre à 14h :** Paolo DI TELLA (Université Dresden)// Progressive Enlargement of Filtrations and Control Problems for Step Processes. //
++ Voir résumé | \\ In the present paper we address stochastic optimal control problems for a step process $(X,\mathbb{F})$ under a progressive enlargement of the filtration. The global information is obtained adding to the reference filtration $\mathbb{F}$ the point process $H=1_{[\tau,+\infty)}$. Here $\tau$ is a random time that can be regarded as the occurrence time of an external shock event. We study two classes of control problems, over $[0,T]$ and over the random horizon $[0,T \wedge \tau]$. We solve these control problems following a dynamical approach based on a class of BSDEs driven by the jump measure $\mu^ Z$ of the semimartingale $Z=(X,H)$, which is a step process with respect to the enlarged filtration $\mathbb G$. The BSDEs that we consider can be solved in $\mathbb{G}$ thanks to a martingale representation theorem which we also establish here. To solve the BSDEs and the control problems we need to ensure that $Z$ is quasi-left continuous in the enlarged filtration $\mathbb{G}$. Therefore, in addition to the $\mathbb{F}$-quasi left continuity of $X$, we assume some further conditions on $\tau$. This is a joint work with Elena Bandini (Uni Bologna) and Fulvia Confortola (PoliMi).
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**jeudi 13 octobre à 14h :** Pierre CARDALIAGUET Université Paris Dauphine (Ceremade) // Sur le contrôle optimal à champ moyen. //
++ Voir résumé | \\ Cet exposé est consacré à des résultats récents obtenus en collaboration avec Joe Jackson (U. Texas), Samuel Daudin (Dauphine) et Panagiotis Souganidis (U. Chicago) sur le contrôle optimal à champ moyen. La question de base est le contrôle optimal stochastique d’un grand nombre de particules, éventuellement avec du bruit commun. L’approximation naturelle, lorsque le nombre de particules tend vers l’infini, est de remplacer ce problèmes par un problème de contrôle optimal de l’équation de McKean-Vlasov. On expliquera comment quantifier l’erreur faite par cette approximation, à la fois pour la fonction valeur et pour les trajectoires optimales.
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**jeudi 13 octobre à 15h20 :** Fabrice Djete Ecole Polytechnique (CMAP)// Non–regular McKean–Vlasov equations and calibration problem in local stochastic volatility models.//
++ Voir résumé | \\ In this talk, motivated by the calibration problem in local stochastic
volatility models, we will investigate some McKean--Vlasov equations
beyond the usual requirement of continuity of the coefficients in the
measure variable for the Wasserstein topology. We will provide first an
existence result for this type of McKean–Vlasov equations and explain
the main idea behind the proof. In a second time, we will show an
approximation by particle system for this type of equations, a result
almost never rigorously proven in the literature in this context..
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**jeudi 23 Juin à 14h :** Damir Kinzebulatov (Université de Laval Canada ) // Fractional Kolmogorov operator and SDEs with critical (form-bounded) drifts. //
++ Voir résumé | \\ We establish sharp two-sided bounds on the heat kernel of the fractional Laplacian, perturbed by a drift having critical-order singularity, by transferring it to appropriate weighted space with singular/vanishing weight. We will also talk about weak well-posedness of the corresponding SDE with drift satisfying some minimal assumptions (i.e. such that the corresponding Kolmogorov operator is well-defined in L^2).
The talk is based on joint papers with K.R.Madou, Yu.A.Semenov and K.Szczypkowski.
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**jeudi 7 avril à 14h :** Laurent Denis (Univ. Le Mans)// Maximisation robuste d’utilité récursive avec pénalisation sur le modèle. //
++ Voir résumé | \\ .
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**jeudi 31 mars à 14h :** Hélène Halconruy (Université du Luxembourg)// Maximisation de l’utilité espérée et calcul de sensibilité dans un modèle trinomial avec initié. //
++ Voir résumé | \\ Dans un marché financier représenté par un modèle trinomial, interviennent deux investisseurs :
un agent ordinaire fondant ses décisions de composition de portefeuille sur la base d’informations
publiques et un initié bénéficiant d’une information confidentielle dès le début de la période
d’échanges. Au cours de cet exposé, j’aborderai deux problèmes que je présenterai du point de
vue de l’agent puis de l’initié : la maximisation de l’utilité (logarithmique, exponentielle, puissance)
espérée et la mesure de la sensibilité du portefeuille par rapport au taux d’intérêt.
Dans deux travaux sur lesquels sont basés ces résultats, l’idée est de substituer au trinomial un
modèle binomial à sauts qui lui équivalent en loi, et dans lequel la dynamique du sous-jacent est
dirigée par un processus binomial marqué (MBP). Un calcul de Malliavin pour cet analogue discret
au processus de Poisson marqué, peut être alors développé ; il est caractérisé par une famille
d’opérateurs (gradient, divergence…) et une formule d’intégration par parties.
La combinaison de ce nouveau formalisme avec les outils (simples dans le cas discret) de
grossissement d’une filtration permet de résoudre les problèmes évoqués des points de vue des
deux investisseurs. Au cours de l’exposé, je présenterai ces résultats ainsi que la construction du
formalisme y ayant mené.
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**jeudi 24 mars à 14h :** F. Panloup (Univ. Angers)// Sur les mesures invariantes d'EDS fractionnaires. //
++ Voir résumé | \\ .
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**jeudi 20 janvier à 14h :** Bruno Bouchard (CEREMADE)// Approximate viscosity solutions of path-dependent PDEs, regularity and Dupire’s formula for C1-functionals. //
++ Voir résumé | \\ .
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**jeudi 13 janvier à 14h :** Pierre Cardaliaguet (CEREMADE)// TBA. //
++ Voir résumé | \\ .
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**jeudi 4 novembre à 14h :** Joffrey Derchu (École Polytechnique)// A Bayesian viewpoint on the price formation process. //
++ Voir résumé | \\ We discuss the problem of price formation in financial markets. After an overview of markets and of the problem of market impact, we introduce a simple Bayesian framework in which market participants update their prior about an efficient price with a model-based learning process. We show that exponential intensities for the arrival of aggressive orders arise naturally in this setting. We derive explicit formulas for market dynamics in the case with Brownian efficient price and informed market takers. We are also able to revisit the emergence of market impact due to meta-order splitting, making several connections with existing literature.
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**jeudi 14 octobre à 14h :** Philippe Bergault (École Polytechnique)// Algorithmic market making in FX cash markets: a new model for active market makers. //
++ Voir résumé | \\ JIn OTC markets, the main task of market makers consists in answering prices at which they agree to
buy and sell the assets they have in their scope. Over the last ten years, many market making models have been designed
that can be the basis of quoting algorithms. However, in the academic literature, most market making models adapted to OTC markets are general and do not focus on specific market characteristics. To the best of our knowledge, in all OTC market making models, the market maker only sets quotes and/or wait for clients. However, on many markets such as FX cash markets, market makers have access to liquidity pools where they can unwind part of their inventory. In this paper, we propose a model taking this possibility into account, therefore allowing market makers to trade actively in the market.
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**jeudi 20 mai à 14h :** Trâm Ngo Thi Bao (Université Paris Est Créteil) // Asymptotic behavior of the multilevel type error for SDEs driven by a pure jump Lévy process. //
++ Voir résumé | \\ .....
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**jeudi 6 mai à 14h :** Clément Rey (École Polytechnique) // Meta-model for indicator functions using Polynomial Chaos Expansion.
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++ Voir résumé | \\ .....
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**jeudi 29 avril à 14h :** Benjamin Jourdain (École des Ponts, CERMICS) // Approximation de couplages martingale réels dans la topologie faible adaptée. //
++ Voir résumé | \\ .....
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**jeudi 8 avril à 14h :** Giacomo Toscano (ENS Pisa) // Rate-efficient asymptotic normality of the Fourier estimator of the Leverage process. //
++ Voir résumé | \\ We prove a Central Limit Theorem for two estimators of the leverage process based on the Fourier
method of [Malliavin and Mancino, 2009], showing that they reach the optimal rate 1/4 and a smaller
variance with respect to different estimators based on a pre-estimation of the instantaneous volatility.
The obtained limiting distributions of the estimators are supported by simulation results. Further,
we exploit the availability of efficient leverage estimates to show, using S&P500 prices, that adding
an extra term which accounts for the leverage effect to the Heterogeneous Auto-Regressive volatility
model by [Corsi, 2009], increases the explanatory power of the latter.
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**jeudi 8 avril à 15h15 :** Adrien Richou (Université de Bordeaux) // A propos de l'espérance conditionnelle (et des EDSRs) réfléchie(s) dans un domaine non convexe. //
++ Voir résumé | \\ Je vais présenter dans cet exposé des résultats nouveaux sur l'existence et l'unicité de solution
pour des EDSRs réfléchies dans des domaines non convexes supposés "faiblement étoilés".
Notons que le cas particulier des EDSRs de générateur nul, à savoir la simple espérance conditionnelle,
est déjà un cas d'étude intéressant. En particulier, on établit des résultats d'existence et d'unicité dans un cadre
markovien avec une condition terminale et un générateur Hölder continus, mais également dans un cadre
général sous une hypothèse de petitesse sur les paramètres de l'EDSR.
C'est un travail en commun avec Jean-François Chassagneux (Université de Paris) et Sergey Nadtochiy
(Illinois Institute of Technology).
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**jeudi 1 avril à 14h :** Nabil Kazi-Tani (Université Lyon 1) // Problèmes de ruine, équation de la chaleur sur un triangle, solutions extrémales et jeux à champs moyen. //
++ Voir résumé | \\ Je donnerai dans cet exposé deux exemples de problèmes de contrôle stochastique consistant à optimiser un critère discontinu, dans lesquels d’une part, la fonction valeur peut être obtenue explicitement et d’autre part, le contrôle optimal est extrémal (contrôle bang-bang).
Je considérerai d’abord le problème consistant à minimiser une probabilité de ruine en temps fini pour des martingales browniennes. En calculant explicitement les probabilités de sorties d’un triangle rectangle par le mouvement brownien (en utilisant des résultats connus sur les processus de Bessel), il est possible de montrer que la fonction valeur du problème de contrôle est une solution régulière d'une EDP de la chaleur avec des conditions aux bords discontinues. J’expliquerai en quoi ce problème est utile en assurance, en biologie, ou encore en science politique.
Dans un 2e temps, je montrerai comment obtenir des résultats similaires dans des problèmes de jeux différentiels à N joueurs, dont je prendrai une approximation de type champs moyen dans le régime où N est grand.
Cet exposé s’appuie sur des travaux en collaboration avec Stefan Ankirchner (Jena), Christophette Blanchet-Scalliet (Lyon), Julian Wendt (Jena) et Chao Zhou (Hong Kong).
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**jeudi 25 mars à 14h :** Caroline Hillairet (ENSAE) // Valuation of cyber-insurance derivatives indexed by Hawkes processes //
++ Voir résumé | \\ With the rise of digital economy, cyber risk has become a major concern for public entities, private companies and individuals. The threat of cyber risk is rapidly growing and evolving, making it one of the most important social and economic risks. In France, the ANSSI has announced a rise of 400 % of reported cyber incidents from 2019 to 2020, and no sector is spared.
In this context, we propose a multivariate Hawkes process to model cyber incidents frequency. Based on the Privacy Rights Clearinghouse (PRC) database, we show the ability of Hawkes models to capture self-excitation and interactions of data-breaches depending on their types and targets. Once we have characterized this self-excitation property of cyber claims arrivals, the challenge that arises is to compute valuation formula for cyber insurance contracts and portfolios.
Indeed, in actuarial science, classic models used to describe insurance portfolio relies on the assumptions of the claims arrival being modeled by a Poisson process, and of independence among claim sizes and between claim sizes and claim inter-occurrence times. However, in practice those assumptions are often too restrictive and there is a need for more general models. To achieve this, we provide an expansion formula for Hawkes processes which involves the addition of jumps at deterministic times in the spirit of the integration by parts formula for Poisson functional. Our approach allows us to provide an expansion of the premium of a class of cyber insurance derivatives (such as reinsurance contracts including generalized Stop- Loss contracts) or risk management instruments (like Expected Shortfall) in terms of so-called shifted Hawkes processes. From the actuarial point of view, these processes can be seen as "stressed" scenarios. Our expansion formula for Hawkes processes enables us to provide lower and upper bounds on the premium (or the risk evaluation) of such cyber contracts and to quantify the surplus of premium compared to the standard modeling with a homogenous Poisson process.
Based on joint works with Yannick Bessy-Roland, Alexandre Boumezoued, Anthony Réveillac and Mathieu Rosenbaum.
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**jeudi 18 mars à 14h :** Anthony Reveillac (INSA Toulouse) // Méthode de Malliavin-Stein pour les fonctionnelles de Hawkes //
++ Voir résumé | \\Depuis plusieurs années l’étude des processus de Hawkes (processus de Poisson auto-excitants) a mobilisé beaucoup d’attention dans la communauté des statistiques et des probabilités appliquées à la finance, l’économie ou l’assurance. De façon surprenante, jusqu’à peu, bon nombre de résultats « classiques » manquaient toujours à l’appel. A titre d'exemple l’obtention d'un principe de grande déviation, ou de théorèmes limites pour ces processus est relativement récente. Ainsi, même si des TCL fonctionnels peuvent être obtenus pour le processus de Hawkes (ou certaines de ses fonctionnelles), nous n’avons trouvé aucune trace dans la littérature de TCL quantitatifs, c’est à dire de bornes de type Berry-Esséen pour les théorèmes limites mentionnés plus haut. Motivés par une application en assurance, nous proposons dans cet exposé de telles bornes de Berry-Esséen en utilisant le calcul de Malliavin et la méthode de Stein. Nous expliquerons, la méthode utilisée et les principaux éléments qui permettent de mettre en place une approche générale pour une large variété de fonctionnelles d’un processus de Hawkes.
Cet exposé est basé sur des travaux en collaboration avec Caroline Hillairet, Lorick Huang, Mahmoud Khabou et Mathieu Rosenbaum.
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**jeudi 11 mars à 14h :** Giulia Livieri (ENS Pisa) // Mean-Field games of finite-fuel capacity expansion with singular controls //
++ Voir résumé | \\ We study Nash equilibria for a sequence of symmetric N-player stochastic games of finite-fuel capacity expansion with singular controls and their mean-fieldgame (MFG) counterpart. We construct a solution of the MFG via a simple iterativescheme that produces an optimal control in terms of a Skorokhod reflection at a(state-dependent) surface that splits the state space in action and inaction region.We then show that a solution of the MFG of capacity expansion induces approximateNash equilibria for the N-player games with approximation error ε going to zero asN tends to infinity. Our analysis relies entirely on probabilistic methods and extendsthe well-known connection between singular stochastic control and optimal stoppingto a mean-field framework.
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**jeudi 11 mars à 15h15 :** Claudio Fontana (Université de Padoue) // HJM models for multiple term structures under the real-world probability //
++ Voir résumé | \\ Multiple term structures can coexist in a single financial market. Notable examples include FX markets, energy futures markets and, especially, interest rate markets, where multiple yield curves have emerged from the 2007 financial crisis. In this talk, we present a general modelling approach to multiple term structures with jump-diffusion dynamics under the real-world probability measure. Extending the Heath-Jarrow-Morton framework, we discuss market viability from the viewpoint of large financial markets. We study the model by analysing the associated Heath-Jarrow-Morton-Musiela SPDE, establishing existence and uniqueness of a mild solution under suitable conditions. This talk is based on joint work with Eckhard Platen (UTS Sydney) and Stefan Tappe (Karlsruhe Institute of Technology).
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**jeudi 4 mars à 14h :** Noufel Frikha (Université de Paris) // Quelques formules d'intégration par partie en finance et leur simulation Monte Carlo //
++ Voir résumé | \\ Dans cet exposé, je présenterai quelques nouvelles formules d'intégration par partie pour des processus de diffusion tués ainsi que pour une classe de modèles à volatilité stochastique avec drift non-borné. Pour cela, nous utilisons des techniques de perturbation Markovienne de processus stochastique et nous développons un calcul de Malliavin adapté à la chaîne de Markov intervenant dans les formules de représentation probabiliste de la loi marginale considérée. Ces formules permettent entre autre d'élaborer des estimateurs Monte Carlo sans biais et donc de calculer des prix d'options ainsi que leurs sensibilités à certains paramètres, les Grecques, avec une méthode numérique de complexité optimale.
Cet exposé est issu de deux travaux en collaboration avec Arturo Kohatsu-Higa (université Ritsumeikan) et Libo Li (université du New South Wales) d'une part, et avec Junchao Chen (université de Paris) et Houzhi Li (université de Paris) d'autre part.
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**jeudi 18 février à 14h :** Laurence Carassus (ESILV) // No-arbitrage with multiple-priors in discrete time. //
++ Voir résumé | \\ Joint work with R. Blanchard.
Affiliation : DVRC et LMR (version longue : Léonard de Vinci Pôle Universitaire, Research Center, 92 916 Paris La Défense, France and LMR, UMR 9008, Université Reims Champagne-Ardenne)
Résumé : In a discrete time and multiple-priors setting, we propose a new characterisation of the condition of quasi-sure no-arbitrage of Bouchard et Nutz (2015) which has become a standard assumption. This characterisation shows that it a well-chosen condition. Indeed, at first sight at least, under this condition it is not even clear if there exists a model satisfying the uni-prior no-arbitrage condition. We prove that this is in fact possible. But still they may exist some models that are not arbitrage free. This means that an agent may not be able to delta-hedge a simple vanilla option using different levels of volatility in an arbitrage free way. We show that the quasi-sure no arbitrage condition for a set of prior QT is equivalent to the existence of a subclass of priors PT such that PT and QT have the same polar sets (roughly speaking the same relevant events) and such that every prior in PT is arbitrage free. We also show that the condition of quasi-sure no-arbitrage is equivalent to several previously used alternative notions of no-arbitrage which allows the proof of important results in mathematical finance (super-hedging and utility maximization). We finally revisit the so-called geometric and quantitative no-arbitrage conditions and explicit two important examples where all these concepts are illustrated.++
**jeudi 11 février à 14h :** Paul Gassiat (Dauphine) // Formules asymptotiques en temps court dans les modèles à volatilité rugueuse. //
++ Voir résumé | \\ Il est bien connu que le modèle de Black-Scholes, qui suppose la volatilité des prix des actifs financiers constante au cours du temps, n'est pas capable de reproduire les données observées sur les marchés financiers. Il est donc naturel de considérer des modèles avec des dynamiques plus compliquées, tels que les modèles à volatilité stochastique. Dans les dernières années, il a été observé qu'une famille de ces modèles (les modèles à volatilité dite rugueuse) permettent de bien reproduire certaines caractéristiques des prix du marché, inaccessibles par les modèles classiques. Dans ces modèles la volatilité suit une dynamique de type fractionnaire avec des trajectoires beaucoup plus irrégulières que celles d'une diffusion classique. Ces modèles sont cependant plus compliqués à la fois à étudier et à simuler, notamment à cause de leur caractère non Markovien, ce qui peut rendre leur utilisation pratique ainsi que leur étude théorique délicate. Dans mon exposé, après avoir présenté la motivation conduisant à l'introduction de ces modèles et leurs spécificités, je détaillerai quelques résultats récents sur leur comportement, notamment l'obtention de formules asymptotiques permettant des calculs numériques rapides. Travail en commun avec P. Friz (TU Berlin) et P. Pigato (Rome).++
**jeudi 4 février à 14h :** Ahmed Kebaier (Paris 13) // Développements récents autour de la méthode Multilevel Monte Carlo. //
++ Voir résumé | \\ Dans cet exposé, nous présentons les nouveaux résultats que nous avons développés autour de la méthode Multilevel Monte Carlo (MLMC) et de ses applications potentielles en finance. Les résultats obtenus couvrent des développements asymptotiques et non-asymptotiques pour la méthode MLMC dans le cadre de processus de diffusion multi-dimensionnels et de processus de Lévy à sauts purs.
Nous illustrons les performances des méthodes MLMC à travers des exemples issus de la finance quantitative.++
**jeudi 28 janvier à 14h :** Thibaut Mastrolia (École Polytechnique) // quelques développements récents sur les mécanismes d’enchères dans des marchés financiers. //
++ Voir résumé | \\ Dans cet exposé, nous étudions des enchères séquentielles sur les marchés financiers recevant pendant une période donnée des ordres à l’achat et à la vente d’un actif risqué. Le prix de cet actif est alors déterminé à la clôture de l’enchère afin de maximiser le volume d’ordres échangés durant la durée de l’enchère comme un équilibre de l'offre et de la demande. Nous nous concentrons ensuite sur la durée optimale d'une enchère afin de réduire l'erreur entre ce prix et le prix « juste » du titre considéré. Lorsque les investisseurs minimisent simultanément leurs coûts de transaction en adaptant leur intensité de négociation à l'état du marché, nous fournissons l'existence d'un équilibre de Nash pour ce jeu stochastique réduit à l'analyse d'un système d'EDP avec des discontinuités. Nous calculons ensuite la durée optimale des enchères pour certaines actions négociées sur Euronext. Enfin, nous étendons l'étude à un nouveau mécanisme de marché "ad hoc electronic auction design" (AHEAD) dans lequel les participants du marché ont la possibilité de déclencher l'enchère lorsque cela est nécessaire. Nous étudions l’intérêt de ce nouveau mécanisme par rapport aux enchères séquentielles classiques et aux carnets d'ordres.
Basé sur des travaux en collaboration avec Joffrey Derchu, Philippe Guillot, Paul Jusselin et Mathieu Rosenbaum.++
**jeudi 21 janvier à 14h :** Arnaud Gloter (LaMME, Université d'Evry) // Rate of estimation for the stationary distribution of stochastic damping systems with continuous observations. //
++ Voir résumé | \\ (joint work with Sylvain Delattre, Univ. Paris Diderot; and Nakahiro Yoshida, Univ. of Tokyo)
Abstract: We study the problem of the non-parametric estimation for the density $\pi$ of the stationary distribution of a stochastic two-dimensional damping Hamiltonian system $(Z_t)_{t\in[0,T]}=(X_t,Y_t)_{t \in [0,T]}$. From the continuous observation of the sampling path on $[0,T]$, we study the rate of estimation for $\pi(x_0,y_0)$ as $T \to \infty$. We show that kernel based estimators can achieve the rate $T^{-v}$ for some explicit exponent $v \in (0,1/2)$. One finding is that the rate of estimation depends on the smoothness of $\pi$ and is completely different with the rate appearing in the standard i.i.d. setting or in the case of two-dimensional non degenerate diffusion processes. Especially, this rate depends also on $y_0$. Moreover, we obtain a minimax lower bound on the $L^2$-risk for pointwise estimation, with the same rate $T^{-v}$, up to $\log(T)$ terms.++
**jeudi 7 janvier à 14h :** Xavier Erny (LaMME, Université d'Evry) // Propagation du chaos conditionnelle pour des sytèmes de neurones en interaction en champ moyen. //
++ Voir résumé | \\ Nous étudions un système stochastique de neurones en interaction dans une normalisation diffusive. Le système est constitué de N neurones, chacun envoie des décharges aléatoirement avec un taux qui dépend de son potentiel de membrane. A chaque instant de décharge, le potentiel du neurone correspondant est réinitialisé à 0 et tous les autres neurones reçoivent une quantité de potentiel supplémentaire, qui est une variable aléatoire centrée de l'ordre de N^{−1/2}. Entre deux décharges successives, le potentiel de chaque neurone suit un flot déterministe. Nous prouvons que ce système converge, quand N tend vers l'infini, vers une équation différentielle stochastique avec saut dirigée par une mesure de Poisson et un mouvement brownien W, qui est créé par le théorème central limite. Ce mouvement brownien régit les mouvements de toutes les particules, et crée un bruit commun à tous les neurones du système limite. Conditionnellement à W, les neurones sont indépendants dans le système limite. C'est la propriété de propagation du chaos conditionnelle. Pour prouver la convergence en loi du système fini vers le système limite, nous introduisons un nouveau problème de martingale adapté à notre cadre de travail. Les techniques utilisées dans les preuves reposent sur le fait qu'on étudie des systèmes échangeables.++
**__Exposés de l'année 2020__ :**
**jeudi 17 décembre à 14h :** Stéphane Menozzi (LaMME, Université d'Evry) // Estimées de densité et de gradients pour des EDS stables non dégénérées à dérive mesurable non bornée. //
++ Voir résumé | \\ Nous considérons une EDS non dégénérée stable, i.e. dirigée par le Brownien ou un processus stable isotrope d'indice alpha dans (0,2), avec un coefficient de diffusion Hölder continu en espace et une dérive non bornée à croissance linéaire. Nous obtenons des estimées de type noyau de la chaleur précises (majoration et minoration) pour la densité ainsi que des estimées ponctuelles sur les dérives (jusqu'à l'ordre 2 en espace dans le cas Brownien, sur la dérivée fractionnaire d'ordre alpha et le gradient logarithmique de la densité dans le cas de saut pur). Ces estimées mettent en particulier en évidence le transport de la condition initiale par la dérive non bornée le long d'un flot auxiliaire (éventuellement régularisé).
Travaux avec A. Pesce (Bologne) et Xicheng Zhang (Wuhan)++
**jeudi 10 décembre à 14h :** Simone Scotti (LPSM, Université de Paris) // A Gamma Ornstein-Uhlenbeck Model Driven by a Hawkes Process. //
++ Voir résumé | \\ We propose an extension of the Gamma-OU Barndorff-Nielsen and Shephard model taking into account jump clustering phenomena. We assume that the intensity process of the Hawkes driver coincides, up to a constant, with the variance process. By applying the theory of continuous-state branching processes with immigration, we show existence and uniqueness of strong solutions of the SDE governing the asset price dynamics. We exploit a measure change of self-exciting Esscher type in order to describe the relation between the risk-neutral and the historical dynamics, showing that the Gamma-OU Hawkes framework is stable under this probability change. By exploiting the affine features of the model we provide an explicit form for the Laplace transform of the asset log-return, for its quadratic variation and for the ergodic distribution of the variance process. We show that the model proposed exhibits a larger flexibility in comparison with the Gamma-OU model, in spite of the same number of parameters required. In particular, we calibrate the model on market vanilla option prices via characteristic function inversion techniques and we study its sensitivities. The main financial result is that implied volatility of options written on VIX is upward shaped due to the self-exciting property of Hawkes processes, in contrast with the downward slope in usual Gamma-OU Barndorff-Nielsen and Shephard model.
Joint work with Guillaume Bernis, Riccardo Brignone and Carlo Sgarra.++
**vendredi 11 décembre à 14h :** Ludovic Goudenège (Fédération de Mathématiques de CentraleSupélec, CNRS) //Quelques résultats autour des équations de Navier-Stokes stochastiques. //
++ Voir résumé | \\ Dans cet exposé, je présenterai des résultats actuels sur les équations de Navier-Stokes stochastiques, notamment sur des versions régularisées type Leray ou Camassa-Holm. Pour ces équations, dans le cas de bruits additifs non dégénérés, on peut montrer qu'il existe une unique mesure invariante, et que les solutions possèdent des moments polynomiaux, dont la divergence en certains petits paramètres est rendue explicite. Je montrerai également la convergence de schémas numériques en éléments finis stochastiques pour une version alpha-Navier-Stokes bruitée par des bruits multiplicatifs. La technique de démonstration est basée sur des estimées dans des espaces de Nikolskii. Dans une troisième partie, je présenterai des résultats récents d'approximations de champs turbulents et intermittents basés sur la reconstruction d'un Chaos Gaussien Multiplicatif dirigeant une équation différentielle stochastique.++
**mardi 1 décembre à 14h :** Alain Durmus (CMLA, ENS Paris-Salcay) //Quantitative convergence of Unadjusted Langevin Monte Carlo and application to stochastic approximation. //
++ Voir résumé | \\ Stochastic approximation methods play a central role in maximum likelihood estimation problems involving intractable likelihood functions, such as marginal likelihoods arising in problems with missing or incomplete data, and in parametric empirical Bayesian estimation. Combined with Markov chain Monte Carlo algorithms, these stochastic optimisation methods have been successfully applied to a wide range of problems in science and industry. However, this strategy scales poorly to large problems because of methodological and theoretical difficulties related to using high-dimensional Markov chain Monte Carlo algorithms within a stochastic approximation scheme. This paper proposes to address these difficulties by using unadjusted Langevin algorithms to construct the stochastic approximation. This leads to a highly efficient stochastic optimisation methodology with favourable convergence properties that can be quantified explicitly and easily checked. The proposed methodology is demonstrated with three experiments, including a challenging application to high-dimensional statistical audio analysis and a sparse Bayesian logistic regression with random effects problem.++
**jeudi 26 novembre à 14h :** Lucas Izydorczyk (ENSTA) //Fokker-Planck equations with terminal condition and related McKean probabilistic representation. //
++ Voir résumé | \\ Usually Fokker-Planck type partial differential equations (PDEs) are well-posed if the initial condition is specified. Here, alternatively, we consider the inverse problem which consists in prescribing final data: in particular we give sufficient conditions for existence and uniqueness. We also provide a probabilistic representation of those PDEs in the form of a
solution of a McKean type equation corresponding to the time-reversal
dynamics of a diffusion process.++
**jeudi 19 novembre à 14h :** Giovanni Conforti (Ecole Polytechnique, CMAP) //On the turnpike property for stochastic control. //
++ Voir résumé | \\ In deterministic dynamic control, the turnpike property stipulates that the trajectory of optimal curves is divided into three phases: two transient phases at the beginning and at the end and a long stationary phase in which the curve is exponentially close to a steady state, called the turnpike. Although there is a vast literature on the convergence to equilibrium for uncontrolled stochastic processes and on turnpike theorems for deterministic control problems, not so much is known about the turnpike phenomenon for stochastic control problems. In this talk, I will present some examples of stochastic control problems for which quantitative exponential convergence of dynamic solutions towards solutions of the ergodic problem can be established. Among these, various instances of the (mean field) Schrödinger problem will be discussed.
Based on joint works with J.Backhoff, A.Chiarini, G.Clerc, I.Gentil G.Greco, C.Léonard, L.Tamanini and Z.Ren.++
**jeudi 12 novembre à 14h :** Eduardo Abi Jaber (Paris 1 Panthéon-Sorbonne) //Linear-Quadratic control of stochastic Volterra equations. //
++ Voir résumé | \\ We treat Linear-Quadratic control problems for a class of stochastic Volterra equations of convolution type. These equations are in general neither Markovian nor semimartingales, and include the fractional Brownian motion with Hurst index smaller than 1=2 as a special case. We prove that the value function is of linear quadratic form with a linear optimal feedback control, depending on non-standard infinite dimensional Riccati equations, for which we provide generic existence and uniqueness results. Furthermore, we show that the stochastic Volterra optimization problem can be approximated by conventional finite dimensional Markovian Linear Quadratic problems, which is of crucial importance for numerical implementation.
Joint work with Enzo Miller and Huyên Pham.++
**jeudi 5 novembre à 14h :** Ishak Hajjej (ENSIIE, LaMME) //Optimal stopping contract for Public PrivatePartnerships under moral hazard. //
++ Voir résumé | \\ This paper studies optimal Public Private Partnerships contracts between a public entityand a consortium, in continuous-time and with a continuous payment, and the possibility forthe public to stop the contract. The public ("she") pays a continuous rent to the consortium("he"), while the latter gives a best response characterized by his effort. This effort impactsthe drift of the social welfare, until a terminal date decided by the public when she stops thecontract and gives compensation to the consortium. Usually, the public can not observe theeffort done by the consortium, leading to a principal agent’s problem with moral hazard. Wesolve this optimal stochastic control with optimal stopping problem in this context of moralhazard. The public value function is characterized by the solution of an associated HamiltonJacobi Bellman Variational Inequality. The public value function and the optimal effort andrent processes are computed numerically by using the Howard algorithm. In particular, theimpact of the social welfare’s volatility on the optimal contract is studied..++
**jeudi 15 octobre à 14h :** Adrien BARRASSO (LaMME, ENSIIE) //Solutions mild découplées d'EDP (éventuellement singulières ou path-dependent) représentées par des Équations Différentielles Stochastiques Rétrogrades. //
++ Voir résumé | \\ Nous introduirons une nouvelle notion de solution dite mild découplée pour des problèmes d'évolution déterministes inspirée des solutions milds. Nous étudierons un certain nombre de résultats d'existence et d'unicité d'une telle solution mild découplée pour des EDP semi-linéaires (éventuellement singulières ou path-dependent) et donnerons une représentation probabiliste de cette solution via des EDSR.++
**jeudi 8 octobre à 14h :** Cyril Benezet (LaMME, ENSIIE) //Simulation et estimation de mesures de risques extrêmes pour copules à facteurs et à marginales données. //
++ Voir résumé | \\ Nous nous intéressons au calcul de statistiques E[g(X)] où X est un vecteur aléatoire multidimensionnel que l'on ne sait pas simuler directement. Dans un contexte de copule à facteurs munie de marginales choisies, nous introduisons un algorithme par transformée de chaîne de Markov pour simuler sous la loi de X et approcher la quantité recherchée. Nous donnons des résultats de convergence théorique, puis une application à la gestion des risques extrêmes pour un vecteur de rendements d'actifs. Ce travail a été effectué en collaboration avec Emmanuel Gobet et Rodrigo Targino.++
**jeudi 4 juin à 14h :** Rafael Serrano (Universidad del Rosario, Colombia) //TBA. //
++ Voir résumé | \\
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**jeudi 7 mai à 14h :** Marc Chataignier (UEVE, LaMME, Evry) //Deep local volatility. //
++ Voir résumé | \\ L'apprentissage profond est apparu comme une nouvelle façon de calculer rapidement le prix d’options notamment à des fins de calibration et d’estimation des sensibilités. Cependant, la plupart de ces approches dans la littérature ne s’assurent pas de la non-arbitrabilité des prix estimés.
Dans cet article, nous présentons une approche d'apprentissage profond pour l'interpolation sans arbitrage des prix des options vanilles européennes. En particulier, nous détaillons les changements apportés à la méthodologie standard pour imposer des contraintes de non-arbitrage et spécifions expérimentalement les paramètres requis pour conserver une précision adéquate. Un ajout notable est l'utilisation de la formule Dupire pour encadrer la volatilité locale associée aux prix des options (non arbitrables), lors de l’entraînement du réseau.
De cette façon, nous obtenons un réseau neuronal capable d'interpoler conjointement le prix et la volatilité locale.
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**jeudi 23 avril à 14h :** Adrien Barrasso (CMAP, École Polytechnique)//TBA. //
++ Voir résumé | \\ Nous commencerons par faire quelques rappels sur ce que sont les jeux à champ moyen (MFG) avec ou sans bruit commun, et les notions de solutions fortes, faibles, relâchées. Puis sur les Équations Différentielles Stochastiques Rétrogrades d'ordre 2 (2BSDEs) qui apparaissent naturellement dans des problèmes de contrôle de volatilité et sont liées à des EDP (complètement) non-linéaires d'ordre deux. Enfin nous présenterons un résultat d'existence d'équilibre pour un jeu à champ moyen avec bruit commun et contrôle de volatilité, ainsi qu'un théorème de représentation de cet équilibre par un 2BSDE de type McKean-Vlasov.
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**jeudi 9 avril à 15h :** Yating LIU (CEREMADE, Université Paris Dauphine - PSL) //Functional convex order for the scaled McKean-Vlasov processes. //
++ Voir résumé | \\ We establish the functional convex order results for two scaled McKean-Vlasov processes X = (Xt)_t∈[0, T] and Y = (Yt)_t∈[0, T] defined by dX_t=(aX_t+b)dt+sigma(t, X_t, mu_t)dB_t and dY_t=(aY_t+b)dt+theta(t, Y_t, nu_t)dB_t: if we make the convexity and monotony assumption (only) on sigma and if sigma <= theta with respect to the partial matrix order, the convex order for the initial random variable X0 <= Y0 can be propagated to the whole path of process X and Y. That is, if we consider a convex functional F defined on the path space, we have EF(X)<= EF(Y); for a convex functional G defined on the product space involving the path space and its marginal distribution space, we have EG(X, (mu_t)_t∈[0, T]) <= EG(Y, (nu_t)_t∈[0, T]) under appropriate conditions. The dual case is also valid, that is, if theta <= sigma and Y0 <= X0 with respect to the convex order, then EF(Y) <= EF(X) and EG(Y, (nu_t)_t∈[0, T]) <= EG(X, (mu_t)_t∈[0, T]). The proof is based on several forward and backward dynamic programming and the convergence of the Euler scheme of the McKean-Vlasov equation. Joint work with Gilles Pagès.
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**jeudi 26 mars à 14h :** Antonello Pesce (Università di Bologna) //Parametrix techniques for spds. //
++ Voir résumé | \\ We discuss the use of the parametrix method in the context of SPDEs in Holder spaces. We address the multi-dimensional parabolic case and a two-dimensional degenerate case showing existence, regularity, Gaussian type estimates of a stochastic fundamental solution, and applications to filtering theory. Our analysis is based on a Wentzell’s reduction of the SPDE to a PDE with random coefficients and point-wise controls for related stochastic flows of diffeomorphism.
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**jeudi 19 mars à 14h :** Sarah Lemler (Centrale Supélec) //TBA. //
++ Voir résumé | \\ We consider a 1-dimensional diffusion process X with jumps. The particularity of this model relies in the jumps which are driven by a multidimensional Hawkes process denoted N. We consider the Markovian case for which we were able to establish ergodicity results for process X. We will present in this talk the study of a nonparametric estimator of the drift coefficient of this original process. We have constructed an estimator based on discrete observations of the process X in a high frequency framework with a large horizon time and on the observations of the process N. We have obtained adaptive results that are comparable with the one obtained in the nonparametric regression context. We have finally conducted a simulation study in which we first focus on the implementation of the process and then on showing the good behavior of the estimator.
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**jeudi 12 mars à 13h30 :** Matteo Basei (EDF)//TBA. //
++ Voir résumé | \\ We consider a general class of nonzero-sum stochastic games with impulse controls. By means of a suitable system of quasi-variational inequalities, we provide a verification theorem for the equilibrium strategies. We then present some examples and applications. Finally, we consider some extensions and future research directions.
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**jeudi 12 mars à 14h15 :** Thorsten Schmidt (university of Friburg, Germany) //TBA. //
++ Voir résumé | \\This work is an attempt to fundamentally study the valuation of insurance contracts. We start from the observation that insurance contracts are inherently linked to financial markets, be it by the link to interest rates, or -- as in hybrid products, equity-linked life insurance and variable annuities -- directly to stocks or indices. By defining trading strategies on an insurance portfolio and combining them with financial trading strategies we arrive at the notion of insurance-finance arbitrage (IFA). A fundamental theorem characterizes absence of IFA utilizing the law of large numbers and risk-neutral valuation. As a key result we obtain a simple valuation rule which excludes IFA.
Utilizing the theory of enlargements of filtrations we are able to construct a tractable framework for general valuation results. For practical applications, we provide an affine formulation of the driving quantities which leads to explicit valuation formulas for a large class of hybrid products.
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**jeudi 13 février à 13h30 :** Gilles Pagès (Sorbonne Université, UPMC) //Schéma d'Euler à pas décroissant d'une diffusion ergodique et algorithme de Langevin. //
++ Voir résumé | \\ Nous établissons des vitesses de convergence en variation totale et en distance de Wasserstein L^1 de la loi d'un schéma d'Euler à pas décroissant d'une diffusion fortement ergodique vers sa loi invariante. Cela étend au cas d'un bruit multiplicatif divers résultats récents sur l'algorithme "Unajusted Langevin". Nous utiliserons des estimées sous-gaussiennes de densité "à la Aronson" dans le cas d'un drift non bornée (à croissance linéaire). Travail joint avec F. Panloup.
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**jeudi 23 janvier à 14h00 :** Noufel Frikha (Université Paris 7) //Well-posedness of McKean-Vlasov SDEs, related PDE on the Wasserstein space and some new quantitative estimates for propagation of chaos. //
++ Voir résumé | \\ In this talk, I will present some recent results on the well-posedness in the weak and strong sense of some non-linear stochastic differential equations (in the sense of McKean-Vlasov) driven by Brownian and/or jump processes which go beyond those derived from the standard Cauchy-Lipschitz theory (see e.g. the monograph of Sznitman). Then, in the Brownian setting, I will show how the underlying noise regularizes the equation and allows to prove that the transition density of the dynamics exists and is smooth, especially in the measure direction, under the uniform ellipticity assumption. Such smoothing effects then in turn allow to establish the existence and uniqueness for the Cauchy problem associated to the Kolmogorov PDE stated on the Wasserstein space with irregular terminal condition and source term. This PDE on an infinite dimensional space plays a key role in order to derive new quantitative estimates of propagation of chaos for the mean-field approximation by systems of interacting particles.
This presentation is based on several recent works in collaboration with: P.-E. Chaudru de Raynal (Université Savoie Mont Blanc), V. Konakov (HSE Moscou), L. Li (UNSW Sydney) and S. Menozzi (Université d'Evry Val d'Essone).
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**__Exposés de l'année 2019__ :**
**jeudi 19 décembre à 15h00 :** Miryana Grigorova (University of Leeds) //A non-linear incomplete market model with default: Pricing of European and American options//
++ Voir résumé | \\ We present an incomplete market model with default which consists of one risky asset with dynamics driven by two "sources of risk", namely a Brownian motion and a compensated default martingale. Additionally to this feature, the wealth process follows non-linear dynamics with a non-linear driver f, which allows to incorporate a number of imperfections in the market.
We thus face a non-linear incomplete market with default. We provide a dual formulation of the seller's superhedging price for a European option in terms of the supremum, over a suitable set of equivalent probability measures Q, of the non-linear f-evaluation/expectation under Q of the payoff. We also provide some related criteria for replicability of a given pay-off. By a form of symmetry, we derive corresponding results for the buyer. Our results rely on first establishing a non-linear optional decomposition for processes which are (non-linear) f-strong supermartingales under Q, for all Q. This decomposition is the analogue in our framework of the well-known optional decomposition from the linear case. We also show that the non-linear optional decomposition is equivalent to a non-linear predictable decomposition with constraints.
This result allows us to show an infinitesimal characterization of the seller's (superhedging) price process as the minimal supersolution of a constrained BSDE with default.
We will also discuss corresponding results for the seller's superhedging price of an American option.
The talk is based on joint works with Marie-Claire Quenez and Agnès Sulem.
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**28 novembre à 14h00 :** Marie-Amélie Morlais (Université du Mans) // Problème de commutation optimale avec nombre infini de modes : Une approche par “randomisation” et caractérisation par une EDSR avec contraintes sur les sauts//
++ Voir résumé | \\Dans une première partie de l'exposé, on introduit:
- d'une part, le problème de contrôle stochastique primal (qui n'est autre que le problème de commutation optimale avec nombre infini de modes)
- d'autre part, le problème de contrôle dit dual: ce dernier nécessite une construction du cadre dit "randomisé" qui spécifie en quoi consiste l'ensemble des contrôles admissible dans ce nouvel espace probabilisé abstrait.
Les données du problème peuvent être à dépendance trajectorielle (en particulier, ceci est le cas des coefficients b et sigma définissant l’EDS associée à un processus exogène X. Les deux processus b et sigma sont contrôlés.)
Une différence majeure provient aussi du fait que l'ensemble des modes est un espace de Borel infini éventuellement non dénombrable.
On présente les résultats majeurs du papier :
(i) l'égalité des fonctions valeurs (associées aux problèmes primaux et duaux introduits) ;
(ii) la caractérisation de la fonction valeur commune comme la solution (minimale) d’une EDSR avec contraintes sur le terme de sauts.
Si le temps le permet, quelques idées de preuve seront données (pour le premier résultat (i)). La caractérisation à l'aide d'une Backward (avec contraintes) de la fonction valeur duale résultant d’outils relativement classiques.
Pour conclure, quelques perspectives d'étude future seront présentées.
(Travail en commun avec Marco Fuhrman, Universita degli Studi Di Milano, Milan Italie).
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**7 novembre à 14h00 :** Lokmane Abbas Turki(Sorbonne Universités - Paris 6) // Conditionnal Monte Carlo Learning for diffusions//
++ Voir résumé | \\We present a new algorithm based on One-Layered Nested Monte Carlo (1NMC) to simulate functionals $U$ of a Markov process $X$. The main originality of the proposed method comes from the fact that it provides a recipe to simulate $U_{t\geq s}$ conditionally on $X_{s}$. This recipe can be used for a large number of situations including: Backward Stochastic Differential Equations (BSDEs), Reflected BSDEs (RBSDEs), risk measures and beyond. In contrast to previous works, our contribution is based on a judicious combination between regression and 1NMC used for localization purpose. The generality, the stability and the iterative nature of this algorithm, even in high dimension, make its strength. It is of course heavier than a straight Monte Carlo (MC), however it is far more accurate to simulate quantities that are almost impossible to simulate with MC. Indeed, using the double layer of trajectories, we explain how to estimate and control the bias propagation. With this double layer structure, it is also possible to adjust the variance for a better description of tail events. Moreover, the parallel suitability of 1NMC makes it feasible in a reasonable computing time. This presentation explains this algorithm and details error estimates. We also provide various numerical examples with a dimension equal to 100 that are executed in few minutes on one Graphics Processing Unit (GPU).
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**17 octobre à 14h00 :** Alexandre Veretennikov (University of Leeds) // On McKean-Vlasov stochastic equations//
++ Voir résumé | \\Weak existence will be shown for a class of McKean-Vlasov equations. Specifically results will be presented on: (a) existence for bounded Borel coefficients with non-degenerate diffusion (the class of coefficients is a bit wider than the standard linear coefficient dependence of the measure); (b) existence for unbounded Borel coefficients under linear growth given that for bounded ones existence is known; (c) existence for non-symmetric (& still non-degenerate) diffusions. In addition some results on strong existence and on weak and strong uniqueness will be stated.
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**2 octobre à 14h00 :** Sergio Pulido Nino (ENSIIE/LaMME) // Stochastic Volterra equations//
++ Voir résumé | \\We obtain general weak existence and stability results for Stochastic Convolution Equations (SVEs) with jumps under mild regularity assumptions, allowing for non-Lipschitz coefficients and singular kernels. The motivation to study SVEs comes from the literature on rough volatility models. Our approach relies on weak convergence in Lp spaces. The main tools are new a priori estimates on Sobolev-Slobodeckij norms of the solution, as well as a novel martingale problem that is equivalent to the original equation. This leads to generic approximation and stability theorems in the spirit of classical martingale problem theory. To illustrate the applicability of our results, we consider scaling limits of nonlinear Hawkes processes and approximations of stochastic Volterra processes by Markovian semimartingales.
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**26 septembre à 14h00 :** Andrew Soane (University of Cape Town) // Optimal stopping with an enlarged filtration with an application to the Brownian Bridge//
++ Voir résumé | \\This talk will give an overview of the enlargement of filtration, focusing on the tools developed for its application, as well as a brief overview of optimal stopping problems from a Martingale perspective. We will then prove a relationship between the Snell envelope in the enlarged filtration and a parameterised Snell envelope in the reference filtration. Using this relationship we will then derive the optimal stopping value of a Brownian bridge, confirmed by results in the literature.
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**16 mai à 14h00 :** Aurélien Alfonsi ( Ecole des Ponts ParisTech) // Approximation of OT problems with marginal moments contraints (Joint work with Rafaëll Coyaud, Virginie Ehrlacher and Damiano Lombardi)//
++ Voir résumé | \\Optimal Transport (OT) problems arise in a wide range of applications, from physics to economics. Getting numerical approximate solution of these problems is a challenging issue of practical importance. In this work, we investigate the relaxation of the OT problem when the marginal constraints are replaced by some moment constraints. Using Tchakaloff's theorem, we show that the Moment Constrained Optimal Transport problem (MCOT) is achieved by a finite discrete measure. Interestingly, for multimarginal OT problems, the number of points weighted by this measure scales linearly with the number of marginal laws, which is encouraging to bypass the curse of dimension. This approximation method is also relevant for Martingale OT problems. We show the convergence of the MCOT problem toward the corresponding OT problem. In some fundamental cases, we obtain rates of convergence in $O(1/n)$ or $O(1/n^2)$ where $n$ is the number of moments, which illustrates the role of the moment functions. Last, we present algorithms exploiting that the MCOT is reached by a finite discrete measure and provide numerical examples of approximations..
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**18 avril à 14h00 :** Roxana Dumitrescu (King's College London) // Mean-field games of optimal stopping: a relaxed solution approach//
++ Voir résumé | \\We consider the mean-field game where each agent determines the optimal time to exit the game by solving anoptimal stopping problem with reward function depending on the density of the state processes of agents still present in thegame. We place ourselves in the framework of relaxed optimal stopping, which amounts to looking for the optimal occupationmeasure of the stopper rather than the optimal stopping time. This framework allows us to prove the existence of the relaxedNash equilibrium and the uniqueness of the associated value of the representative agent under mild assumptions. Further, weprove a rigorous relation between relaxed Nash equilibria and the notion of mixed solutions introduced in earlier works on thesubject, and provide a criterion, under which the optimal strategies are pure strategies, that is, behave in a similar way tostopping times. Finally, we present a numerical method for computing the equilibrium in the case of potential games and showits convergence (joint work with Peter Tankov and G. Bouveret).
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**11 avril à 14h00 :** Caroline Hillairet (ENSAE) // Aggregation of heterogeneous consistent progressive utilities//
++ Voir résumé | \\We aim to describe globally the behavior and preferences of heterogeneous agents. Our starting point is the aggregate wealth of a given economy, with a given repartition of the wealth among investors, which is not necessarily Pareto optimal. We propose a construction of an aggregate forward utility, market consistent,that aggregates the marginal utility of the heterogeneous agents. This construction is based on the aggregation of the pricing kernels of each investor. As an application we analyze the impact of the heterogeneity and of the wealth market on the yield curve.
Joint work with Nicole El Karoui et Mohamed Mrad.
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**4 avril à 14h00 :** Xiaolu Tan (Université Paris-Dauphine) // From Martingale Optimal Transport to McKean-Vlasov Control Problems//
++ Voir résumé | \\The Martingale Optimal Transport (MOT) problem consists in maximizing a reward value among a class of martingales with given marginal distributions. It is motivated by its application in finance to obtain the no-arbitrage price bounds of derivative options in a data calibrated market. We consider a class of MOT problems and show how it could be related to a McKean-Vlasov (mean-field) control problem, which is a large population control problem. We then study the dynamic programming principle and the numerical approximation of the McKean-Vlasov control problem.
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**4 avril à 15h00 :** Ahmed Kebaier (Université Paris 13) // Non-asymptotic error bounds for The Multilevel Monte Carlo Euler method applied to SDEs with constant diffusion coefficient//
++ Voir résumé | \\In this work, we are interested in deriving non-asymptotic error bounds for the multilevel Monte Carlo method. As a first step, we deal with the explicit Euler discretization of stochastic differential equations with a constant diffusion coefficient. We prove that, as long as the deviation is below an explicit threshold, a Gaussian-type concentration inequality optimal in terms of the variance holds for the multilevel estimator. To do so, we use the Clark-Ocone representation formula and derive bounds for the moment generating functions of the squared difference between a crude Euler scheme and a finer one and of the squared difference of their Malliavin derivatives.
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**28 mars à 14h00 :** Carl Graham (Ecole Polytechnique) // Théorèmes limites pour un processus de Hawkes avec auto excitation et inhibition à portée bornée//
++ Voir résumé | \\Les processus de Hawkes avec une fonction de reproduction pouvant prendre des valeurs positives et négatives permettent de modéliser des propriétés d’auto-excitation et d’auto-inhibition de leurs points. Le cas d’une fonction de reproduction positive correspond à de l'auto-excitation pure et est bien compris. Elle admet en particulier une représentation en tant que processus de branchement avec immigration qui permet d’appliquer des résultats sur les arbres de Galton-Watson. Nous utilisons des techniques de renouvellement pour obtenir des théorèmes limites dans le cas de fonctions de reproduction à support borné pouvant prendre des valeurs négatives. Nous avons en particulier obtenu des inégalités de concentration exponentielles. Une étape importante de la preuve a été de montrer l’existence de moments exponentiels pour les durées de renouvellement de files d’attente de type M/G/infini apparaissant naturellement dans ce cadre, ce qui est en soi un résultat général intéressant.
Travail en collaboration avec Manon Costa, Viet Chi Tran et Laurence Marsalle
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**22 fevrier à 14h00 :** Eva Löcherbach (Université Paris 1) // Oscillations pour des systèmes de processus de Hawkes en interactions//
++ Voir résumé | \\On considère un système de processus de Hawkes non-linéaires avec des interactions en champ moyen pour modéliser des séquences de trains de décharge dé neurones. Après avoir étudié la limite de grande population d’un tel système (autrement dit, la propriété de propagation de chaos), j’expliquerai comment les non-linéarités dans la dynamique limite engendrent du comportement périodique et donc des oscillations auto-entretenues du système. Ceci est un travail commun avec Susanne Ditlevsen..
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**14 fevrier à 14h00 :** Tahir Chouilli (University of Alberta) // Deflators and log-optimal portfolios for markets under random horizon//
++ Voir résumé | \\The goal of this talk is to ``measure'' the impact of a random horizon on log-optimal portfolios. This random horizon is a general random time that might represent the default time of a firm, the death time of an insured, or more generally an occurrence time of an even that might impact the market somehow. Herein, in this setting, we address the num\'eraire portfolio and the log-utility maximization problem. Due to the duality between the investment strategies and the deflators, our ultimate goal translates to the description of the impact of the random horizon on the optimal deflator. Thus, our first principal result lies in explicitly describing the set of all deflators for a model stopped at a random time in different manners. Once the set of all deflators is completely and explicitly parametrized, we address the minimization problem over the set of these deflator. For the case of log utility, this optimal deflator is completely and explicitly described in different manners using the flow information generated by the initial market model only. As a result, we conclude that the random horizon leads naturally to an implied random utility. Concerning the num\'eraire portfolio, we establish a one-to-one connection between the num\'eraire portfolio for models stopped at the random time and the num\'eraire portfolio for models under ``public'' information only. This talk is based on joint works with Sina Yansori (University of Alberta).
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**7 fevrier à 14h00 :** Yann Braouezec (IESEG School of Management) // Stress testing banks’ balance sheets : model and empirical application to the six American systemic banks//
++ Voir résumé | \\We consider a stress test model in which each bank, after an exogenous shock, may have to sell a portion of its assets in order to comply with regulatory constraints. We calibrate our model using the six banks with significant trading operations and we show that, depending on the price impact, the contagion of failures may be significant. Our results may be used to refine current stress testing frameworks by incorporating potential contagion mechanisms between banks..
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**31 janvier à 14h00 :** Simone Scotti (Paris Diderot) // The Alpha-Heston Stochastic Volatility Model//
++ Voir résumé | \\We introduce an affine extension of the Heston model where the instantaneous variance
process contains a jump part driven by alpha-stable processes with alpha in (1,2]. In this framework, we examine the implied volatility and its asymptotic behaviors for both asset and variance options. Furthermore, we examine the jump clustering phenomenon observed on the variance market and provide a jump cluster decomposition which allows to analyse the cluster processes..
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**24 janvier à 14h00 :** Carlo Sgarra (Politecnico di Milano) // Estimation of a Self-Exciting Jump Diffusion Model for Oil Price by a Particle Markov Chain Monte Carlo Method//
++ Voir résumé | \\In this paper we propose a self-exciting jump diffusion model for oil price dynamics based on a Hawkes-type process. In particular, the jump intensity is stochastic and path dependent, implying that a jump will increase the probability of observing a new jump and this feature of the model aims at explaining the jumps clustering effect. These kind of models are now very popular in mathematical finance and financial econometrics, but the existing literature is mainly focused on the equity market. In contrast, we fit our model to spot prices related to the WTI crude oil at daily frequency and the estimation is performed by applying a suitable modification of Particle Markov Chain Monte Carlo method proposed by Andrieu \& al. \cite{holestein}. Finally, we provide an in the sample and out of the sample analysis in order to test the validity of our approach. (Paper written in Cooperation with L. Gonzato, Milano Bicocca and ESSEC).
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**__Exposés de l'année 2018__ :**
**29 novembre 2018 à 14h00 :** Ahmed Mtiraoui (IÉSEG School of Management) // Contrôle des EDSPRs Couplées//
++ Voir résumé | \\Nous étudions un problème de contrôle avec une fonctionnelle coût non linéaire
dont le système contrôlé est dirigé par une EDSPR couplée. L’objective de ce
travail est d’établir l’existence d’un contrôle optimal dans la classe des contrôle
stricts, donc on montre que ce contrôle vérifie notre équation et qu’il minimise la
fonctionnelle coût. La méthode consiste à approcher notre système par une suite
de systèmes réguliers et on montre la convergence. En passant à la limite, sous
des hypothèses de convexité, on obtient l’existence d’un contrôle optimal strict. on
suit cette méthode théorique dans un cadre général ( n'importe quelles hypothèses
d'existence et unicité) et on introduit quelques exemples.
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**18 octobre 2018 à 14h00 :** Lakshithe Wagalath (IÉSEG School of Management) // Strategic fire sales and price-mediated contagion in the banking system (joint work with Y. Braouézec)//
++ Voir résumé | \\We consider a price-mediated contagion framework in which each bank, after an exogenous shock, may have to sell assets in order to comply with regulatory constraints. Interaction between banks takes place only through price impact. We first characterize the equilibrium of the strategic fire sales problem and define measures of contagion. We then calibrate our model to publicly-available data -- the US banks that were part of the 2015 regulatory stress-tests -- and quantify contagion effects. We finally show how our framework may be used to draw regulatory measures such as the systemic risk capital surcharge for large banks..
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**4 octobre à 14h00 :** Nicolas Marie (ESME Sudria) // Sur la contrainte des équations différentielles dirigées par le mouvement brownien fractionnaire.//
++ Voir résumé | \\L’exposé portera sur la contrainte des solutions d’équations différentielles stochastiques dirigées par le mouvement brownien fractionnaire (mBf).Il existe essentiellement deux façons de contraindre la solution d’une équation différentielle stochastique à évoluer dans un sous-ensemble fermé de l’espace.La première méthode consiste à choisir le champ de vecteurs de l’équation de sorte qu’au bord de l’ensemble contrainte, le bruit devienne négligeable et qu’une force de rappel s’exerce sur la solution. Il s’agit d’une condition d’invariance. Dans une première partie, nous démontrons une condition nécessaire et suffisante d’invariance d’une partie convexe et fermée de l’espace par une équation différentielle dirigée par le mBf et prise au sens des trajectoires rugueuses. Une seconde méthode consiste à ajouter à la solution de l’équation un processus repoussant cette dernière à l’intérieur avec une force minimale chaque fois qu’elle touche le bord de l’ensemble contrainte. Il s’agit d’un problème de réflexion de Skorokhod. La seconde partie de l’exposé porte sur l’existence, l’unicité et l’approximation de la solution d’un problème de réflexion de Skorokhod associé à une équation différentielle dirigée par le mBf et à un processus de rafle de Moreau pour un ensemble contrainte convexe, compact et dépendant continûment du temps au sens de la distance de Hausdorff.
Il s’agit de travaux en collaboration avec L. Coutin, P. Raynaud de Fitte et C. Castaing.
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**21 juin 2018 à 14h00 :** Adélaïde Olivier (Université Paris-Sud, Laboratoire de Mathématiques d'Orsay) // Estimation du taux de division dans des modèles de croissance-fragmentation //
++ Voir résumé | \\Cette présentation sera centrée sur les modèles de croissance-fragmentation, pouvant servir à modéliser la croissance d’une population de cellules. D’un point de vue stochastique, nous nous intéressons à un système de particules évoluant à travers deux phénomènes. D’une part, les particules évoluent de façon déterministe (elles vieillissent, elles croissent). D’autre part, les particules se divisent au bout d'un temps aléatoire : une particule d'âge a ou de taille x se divise en deux nouvelles particules (d'âge 0, de taille initiale x/2) selon un taux de division B(.) dépendant de l'âge a ou de la taille x de la particule. Un objectif majeur est alors de reconstruire, de façon non-paramétrique, le taux de division.
Pour cela, différents schémas d'observation seront envisagés : 1) l’observation des traits de toutes des cellules jusqu’à une génération fixée dans l’arbre généalogique de la population ; 2) l’observation de la prolifération des cellules en temps continu entre les instants 0 et T (induisant un phénomène de biais de sélection, absent du premier schéma, que nous mettrons en évidence).
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**31 mai 2018 à 14h00 :** Stéfano de Marco (CMAP, Ecole Polytechnique) // VIX derivatives in rough forward variance models //
++ Voir résumé | \\Recently proposed models for the forward variance and the spot value of theSP500 stock index based on fractional Volterra processes specifically, the so called “rough Bergomi model” of Bayer,Friz, Gatheral 2016 are not able to account for smiles of options on VIX (THE MAJOR IMPLIED VOLATILITY INDEX ON THE SP500). Indeed, the VIX process induced by this model is essentially log-normal: any calibration to VIX market instruments is, the,out of reach. We will focus on the pricing and hedging of volatility derivatives, and on the appealing features that such an extended “rough” modeling framework processes in the term-structure of volatilities, and consider its calibration to the VIX market..
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**17 mai 2018 à 14h00 :** Marek Rutkowski (The University of Sydney) // VIX derivatives in rough forward variance models //
++ Voir résumé | \\We develop a unified valuation theory that incorporates credit risk (defaults), collateralization and funding costs, by expanding the replication approach to a generality that has not yet been studied previously and reaching valuation when replication is not assumed. This unifying theoretical framework clarifies the relationship between the two valuation approaches: the adjusted cash flows approach of Brigo et al. (2016,2017) and the classical replication approach of Bielecki et al. (2015,2017).
In particular, results of this work cover several previous papers in which the authors have examinedspecific replication-based models.
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**4 avril 2018 à 14h00 :** Xu Mingyu (AMSS-Chine) // " Superhedging with Ratio Constraint" //
++ Voir résumé | \\ In this talk, we study superhedging problem for
proportion constraint, i.e. ratio constraint, by BSDE approach. Using the
corresponding variational inequality introduced by BSDE with constraint, we
discover some non-trivial options under ratio constraint. Then we apply
Malliavin calculus to give sufficient and necessary conditions for existence
of non-trivial options
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**29 mars 2018 à 14h00 :** Frédéric Abergel (CentraleSupélec) // " Modélisation et placement d'ordre optimal dans les marchés à carnets d'ordres" //
++ Voir résumé | \\ les stratégies d'exécution ou de tenue de marché (market making) optimales sont au coeur des problématiques concrètes des acteurs de marché. Dans cet exposé, je présenterai des travaux récents concernant, d'une part, la modélisation probabiliste des marchés à carnets d'ordres et, d'autre part, l'application du contrôle stochastique à la détermination de stratégies de market making. Ces résultats sont obtenus en collaboration avec X. Lu, C. Huré et H. Pham.
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**29 mars 2018 à 14h00 :** Thibaut Mastrolia (Ecole Polytechnique) // " Optimal make-take fees for market making regulation" //
++ Voir résumé | \\ We consider an exchange who wishes to set suitable make-take fees to attract liquidity on its platform. Using a principal-agent approach, we are able to describe in quasi- explicit form the optimal contract to propose to market makers. This contract depends essentially on the market maker inventory trajectory and on the volatility of the asset. We also provide the optimal quotes that should be displayed by the market maker. The simplicity of our formulas allows us to analyze in details the effects of optimal contracting with an exchange, compared to a situation without contract. We show in particular that it leads to a higher quality of the liquidity and lower trading costs for investors.
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**8 mars 2018 à 14h00 :** Charlotte Dion (Sorbonne Université, LPSM) // " Méthodes de classification multi-classes pour des trajectoires de diffusions " //
++ Voir résumé | \\ Les récentes avancées technologiques ont généré un grand nombre de données qui peuvent être modélisées par des données fonctionnelles. Dans ce travail, nous nous intéressons au problème de classification supervisée multi-classe dans le cas où les variables explicatives sont définies comme des processus de diffusions. Dans ce contexte, on donne une forme explicite du classifieur de Bayes. Puis nous proposons deux procédures de classification de type plug-in qui s'appuient sur des observations discrètes et en temps fini. Nous prouvons la consistance des procédures et nous les illustrons numériquement.
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**15 fevrier 2018 à 14h00 :** Caroline Hillairet (ENSAE) // " Equilibrium transactions with large investors and indifferent market makers" //
++ Voir résumé | \\We provide an extension of the notion of consistent progressive utilities U to
consistent progressive utilities of investment and consumption (U;V). We discuss the
notion of market consistency in this forward framework, compared to the classic backward
setting with a given terminal utility, and whose value function is an example of such consistent
forward utility. To ensure the consistency with the market model on a given set of
test processes, we establish a stochastic partial differential equation (SPDE) of Hamilton-
Jacobi-Bellman (HJB)-type to be satisfied by U. This SPDE highlights the link between
the utility of wealth U and the utility of consumption V, and between the drift and the
volatility characteristics of the utility U. By associating two SDEs with the HJB-SPDE,
we discuss the existence and the uniqueness of a concave solution. Finally, we provide
explicit regularity conditions and characterize the consistent pairs of consistent utilities of
investment and consumption. Some examples, such as power utilities, illustrate the theory.
We give some applications on the yield curve modeling.
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**8 fevrier 2018 à 14h00 :** Uladzislau Stazhynski (SGCIB & Ecole polytechnique) // " Uncertainty Quantification for Stochastic Approximation Limits" //
++ Voir résumé | \\The method of stochastic approximation (SA) is widely used in
various applied domains, such as optimization, parameter estimation, adaptive
control, stochastic gradient descent methods in machine learning and efficient
tail computations among others. Recently we proposed a new efficient method
(called the USA algorithm) for the uncertainty quantification of the stochastic
approximation limits based on chaos expansion techniques. Il allows to
efficiently reconstruct the values of the SA limit for the whole range of an
uncertain parameter values within a single procedure, avoiding costly nested
calculations. We prove the almost sure convergence and, more recently, analyze
the L2-convergence rate of the USA algorithm .
The applications of the our method, besides model uncertainty, include
sensitivity analysis and quasi-regression in the sense of reconstructing a whole
unknown function, for instance in the context of nested Monte Carlo
computations involving a non-linear inner function. Important applications in
finance include the calculation of risk measures (such as VaR and CVaR) under
uncertainty, and the calculation of XVAs.++
**8 fevrier 2018 à 15h00 :** Michalis Anthropelos (University of Piraeus) // " Equilibrium transactions with large investors and indifferent market makers" //
++ Voir résumé | \\We consider a market of financial securities where large investors trade with market makers at their indifference pricing. We adapt the model of Bank and Kramkov (2015) and, under a large class of utility functions, we give conditions that guarantee the existence and the uniqueness of an individual investor's optimal order. We then consider the case of two large investors who place together their orders to market makers. For this, we establish a notion of equilibrium transaction, where the investors' sharing of the aggregate order and the price are endogenously determined. The existence of such equilibrium is proved and the indicative example of exponential utility is extensively analysed. This is a joint work with P. Bank and S. Gokay (TU-Berlin).
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**1 fevrier 2018 à 14h00 :** Kei Noba (université de Kyoto) // " Approximation and duality problems of refracted processes" //
++ Voir résumé | \\Using excursion theory, we construct a Markov process with no positive jumps whose positive and negative motions are given by different standard processes. The resulting process is a generalization of Kyprianou--Loeffen's refracted Lévy processes. We discuss approximation problem for our generalized refracted Lévy processes by removing small jumps and taking the limit as the removal level tends to zero. We also discuss conditions for refracted processes to have dual processes.
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**1 fevrier 2018 à 15h00 :** Eduardo Abi Jaber (Paris Dauphine (CEREMADE) et AXA) // " Affine Volterra processes" //
++ Voir résumé | \\A growing body of empirical research indicates that volatility fluctuates more rapidly than Brownian motion, which is inconsistent with standard semimartingale models. Fractional volatility models and their relatives have emerged as compelling alternatives- however, their non-Markovian structure makes computations more difficult. We show that, for a large class of such models, it is nonetheless possible to compute the characteristic function by solving an integral equation similar to the Riccati equations associated with standard affine processes. Joint work with Martin Larsson and Sergio Pulido.
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**25 janvier 2018 à 14h00 :** Cyril GRUNSPAN (ESILV) // " Bitcoin, sécurité et stabilité" //
++ Voir résumé | \\Le Bitcoin tient lieu du miracle cryptographique à plus d'un titre. Il constitue la première tentative réussie de monnaie numérique totalement décentralisée et matérialise le concept de contrat automatique prophétisé par Nick Szabo dès 1993. Il établit de fait un lien entre sécurité informatique et théorie des probabilités élémentaires. Il ouvre de nouvelles perspectives en finance et sur l'organisation des sociétés modernes en général. Dans une première partie, nous expliquons les fondamentaux du protole du Bitcoin. Dans une deuxième partie, nous passons en revue deux attaques théoriques (double dépense et minage égoïste) et des moyens de les contrer.
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**__Exposés de l'année 2017__ :**
**9 novembre 2017 à 14h00 :** Vlad Bally (Université Paris-Est Marne-la-Vallée) // " Regularity for jump equations using an interpolation method" //
++ Voir résumé | \\We consider a sequence of Markov semigroups Pn(t) with infinitesimal op-
erators Ln and we assume that Ln → L where L is the infinitesimal operator
of a Markov semigroup P. The Trotter Catto theorem says that Pn → P. Our
first problem is the following: we assume that Pn has the regularity property
Pn(t, x, dy) = pn(t, x, y)dy and we ask under which conditions P inherits this
property: P(t, x, dy) = p(t, x, y)dy. If pn → p in a suitable way, this is trivial.
But our aim is to prove such a result even in the case when pn blows up. So a
first result concerns an abstract criterion going in this sense.
A second result concerns an application to jump type diffusions. We discuss
the regularity of the semigroup asociated to a stochastic equation with jumps. If
the intensity measure is absolutely continuous then one may treat this problem
using Malliaivn calculus with respect to the jump amplitudes (as developed by
Bismut, Leandre, Bichteler Garevereux, Jacod ....) But if the intensity measure
is purely atomic, then this approach fails. J. Picard concived a Malliavin type
calculus in which the differential operators are replaced by finite differences and
used it in order to prove the above regularity. We give an alternative approach
here: we replace the jumps which are smaller then 1
n
by a Brownian motion and
we denote by Pn the semigroup associated to the new equation. Then we use
the classical Malliavin calculus associated to B in order to prove that Pn has a
density pn. Of course we have Pn → P but, as n → ∞ the nois is vanishing so
that pn blos up. However we succed to get the regularity for P.
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**29 juin 2017 à 15h00 :** Chao Zhou (Department of Mathematics - National University of Singapore) // " Bank monitoring incentives under moral hazard and adverse selection" //
++ Voir résumé | \\In this paper, we extend the optimal securitization model of Possamaï and Pagès between an investor and a bank to a setting allowing both moral hazard and adverse selection. Following the recent approach to these problems of Cvitanić, Wan and Yang, we characterize explicitly and rigorously the so-called credible set of the continuation and temptation values of the banks, and obtain the value function of the investor as well as the optimal contracts through a recursive system of first-order variational inequalities with gradient constraints. We provide a detailed discussion of the properties of the optimal menu of contracts. This is a joint work with Nicolás Hernández Santibáñez and Dylan Possamaï.
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**15 juin 2017 à 14h00 :** Claude Martini (Zeliade Systems) // "Martingale measures with prespecified marginals: extremal points, cycles and perturbations" (joint work with Luciano Campi, LSE)" //
++ Voir résumé | \\The characterization of the extremal points of the set of measures with two given marginals goes back to works by Denny, Letac and Mukerjee in the 70s-80s. The set of martingale measures with given marginals attracted recently a lot of people in the context of robust finance, where the model is known only through the prices of vanilla options conveyed by the market. We investigate in detail, in the discrete space case, the properties of extremal points of this set, and exhibit several classes of interest, altogether with a useful necessary conditions for a point to be extremal. We also discuss a candidate analogous of the no-cycle property in the non martingale case and its relations to perturbations. We illustrate our results in low cardinality situations.++
**18 mai 2017 à 14h00 :** Claudia Ceci (Università degli Studi G.D'Annunzio Chieti Pescara) // "Unit-linked life insurance policies: optimal hedging in partially observable market models" //
++ Voir résumé | \\ In this paper we investigate the hedging problem of a unit-linked life insurance contract via the local risk-minimization approach, when the insurer has a restricted information on the market. In particular, we consider an endowment insurance contract, that is a combination of a term insurance policy and a pure endowment, whose benefits depend on the trend of a risky asset. To allow for mutual dependence between the financial and the insurance markets, we use the progressive enlargement of filtration approach. We consider a model where the stock price process dynamics depends on an exogenous unobservable stochastic factor that also influences the mortality rate of the insured. We characterize the optimal hedging strategy in terms of the integrand in the Galtchouk-Kunita-Watanabe decomposition of the insurance payment stream with respect to the minimal martingale measure and the available information flow. We provide an explicit formula by means of predictable projection of the corresponding hedging strategy under full information with respect to the natural filtration of the risky asset price and the minimal martingale measure. Finally, we discuss applications in a Markovian setting via filtering.++
**18 mai 2017 à 15h00 :** Pietro Siorpaes (Imperial College London) // "Structure of martingale transports in finite dimensions" //
++ Voir résumé | \\ Martingale optimal transport is a variant of the classical optimal transport problem where a martingale constraint is imposed on the coupling. In a recent paper, Beiglböck, Nutz and Touzi show that in dimension one there is no duality gap and that the dual problem admits an optimizer. A key step towards this achievement is the characterization of the polar sets of the family of all martingale couplings. Here we aim to extend this characterization to arbitrary finite dimension through a deeper study of the convex order.++
**11 mai 2017 à 14h00 :** Yaroslav Melnyk (EPFL) // "Principal Component Gaussian Affine Term Structure Models
" //
++ Voir résumé | \\We study Gaussian affine term structure models (GATSMs) that additionally satisfy principal components (PC) properties. The factors are assumed to be uncorrelated and the factor loadings are assumed to satisfy an orthogonality condition. We derive necessary and sufficient conditions for a GATSM to satisfy the PC properties and show that, in a class of observationally equivalent GATSMs, a representative model satisfying the PC properties can be chosen. Joint work with Damir Filipovic and Anders Trolle. In progress.++
**11 mai 2017 à 15h00 :** Emmanuel Gobet (Ecole Polytechnique) // "MCMC design-based non-parametric regression for rare-event. Application to nested risk computations
" //
++ Voir résumé | \\We design and analyze an algorithm for estimating the mean of a function of a conditional expectation, when the outer expectation is related to a rare-event. The outer expectation is evaluated through the average along the path of an ergodic Markov chain generated by a Markov chain Monte Carlo sampler. The inner conditional expectation is computed as a non-parametric regression, using a least-squares method with a general function basis and a design given by the sampled Markov chain. We establish non asymptotic bounds for the L2-empirical risks associated to this least-squares regression; this generalizes the error bounds usually obtained in the case of i.i.d. observations. Global error bounds are also derived for the nested expectation problem. Numerical results in the context of financial risk computations illustrate the performance of the algorithms.
Travail joint avec G. Fort and E. Moulines.++
**4 mai 2017 à 14h00 :** François Delarue (Université Nice-Sophia Antipolis) // "Restauration d'unicité pour des équilibres champ moyen" //
++ Voir résumé | \\Les équilibres champ moyen décrivent des états consensuels asymptotiques au sein de grandes populations de particules contrôlées en interaction champ moyen. De façon générale, l'existence de tels équilibres peut être établie dans des cadres assez larges; en revanche, les conditions connues d'unicité sont restrictives.
Dans cet exposé, je discuterai deux exemples pour lesquels l'unicité peut être rétablie en forçant la dynamique globale de la collectivité à l'aide d'un bruit commun à toutes les particules. .++
**4 mai 2017 à 15h15 :** Enrico Priola (Torino University) // "Parabolic estimates and Poisson process" //
++ Voir résumé | \\We show how knowing Schauder or Sobolev-space estimates for the one-dimensional heat equation allows one to derive their multidimensional analogs for equations with coefficients depending only on time variable with the same
constants as in the case of the one-dimensional heat equation.
The method is quite general and is based on using the Poisson stochastic process. We will also present other applications of the method. It looks like no other method is available at this time and it is a very challenging problem
to find a purely analytic approach to proving such results.
This is a joint work with N.V. Krylov.++
**27 avril 2017 à 14h00 :** Chiara Benazzoli (University of Verona) // "Mean-Field games with controlled Jumps" //
++ Voir résumé | \\We study a family of mean-eld games (MFGs) with a controlled jump component. We establish existence of a solution in a relaxed version of the MFG and give conditions under which the optimal strategies are in fact Markovian. The proofs rely upon the notions of relaxed controls and martingale problems. Furthermore, we apply the general theory to a simple illiquid inter-bank market model and provide some numerical results.
Keywords: mean field games, jump measures, controlled martingale problem, relaxed controls, illiquid interbank model. .++
**27 avril 2017 à 15h00 :** Dylan Possamaï (Université Paris-Dauphine) // "Volatility demand management for electricity: a moral hazard approach" //
++ Voir résumé | \\ In this work, we propose a model of electricity demand management through a principal-agent problem, allowing to obtain almost explicit optimal compensations for the consumer. We then illustrate our findings through several numerical experiments, putting the emphasis on the practical implementation of the contracts. This is a joint work with René Aïd and Nizar Touzi.++
**20 avril 2017 à 15h00 :** Scott Robertson (Boston University) // "Optimal Investment and Pricing in the Presence of Defaults" //
++ Voir résumé | \\ We consider the optimal investment problem when the traded asset may default, causing a jump in its price. For an investor with constant absolute risk aversion, we compute indifference prices for defaultable bonds, as well as a price for dynamic protection against default. For the latter problem, our work complements Sircar & Zariphopoulou (2007), where it is implicitly assumed the investor is protected against default. We consider a factor model where the asset's instantaneous return, variance, correlation and default intensity are driven by a time-homogenous diffusion X taking values in an arbitrary region E. We identify the certainty equivalent with a semi-linear degenerate parabolic partial differential equation with quadratic growth in both function and gradient. Under a minimal integrability assumption on the market price of risk, we show the certainty equivalent is a classical solution. In particular, our results cover when X is a one-dimensional affine diffusion and when returns, variances and default intensities are also affine. Numerical examples highlight the relationship between the factor process and both the indifference price and default insurance. Lastly, we show the insurance protection price is not the default intensity under the dual optimal measure. This is joint work with Tetsuya Ishikawa (Morgan Stanley).++
**9 mars 2017 à 14h00 :** Sergio Pulido Nino (ENSIIE) // "Density of probability measures with the martingale representation property" //
++ Voir résumé | \\ Using the theory of analytic maps, we prove density results for measures satisfying a backward formulation of the martingale representation property. These results are useful to study equilibrium-based mechanisms of pricing. This is joint work with Dmitry Kramkov. | \\ .++
**30 mars 2017 à 14h00 :** Sofiane Saadane (Université Toulouse) // "TBA" //
++ Voir résumé | \\ .++
**23 février 2017 à 14h00 :** Julien Chevalier (Université Cergy) // "Modélisation de grands réseaux de neurones par processus de Hawkes" //
++ Voir résumé | \\ Nous nous intéresserons aux liens qui existent entre deux échelles de modélisation neurobiologique. À un niveau microscopique, l'activité électrique de chaque neurone est représentée par un processus ponctuel. À une plus grande échelle, un système d'EDP structuré en âge décrit la dynamique moyenne de ces activités. Nous montrerons que le modèle macroscopique (système d'EDP) peut se retrouver à partir d'un réseau de $n$ neurones en champ-moyen quand $n$ tend vers $+\infty$ via une ``Loi des grands nombres''. De plus, les fluctuations du réseau de $n$ neurones autour du comportement limite/macroscopique sont caractérisées par un ``Théorème central limite''. Cette étude finale permet la dérivation d'un système d'EDP stochastique, plus proche de la dynamique microscopique que le système d'EDP classique.++
**26 janvier 2017 à 14h00 :** Frédéric Vrins (Université Catholique de Louvain) // "Disentangling wrong-way risk: pricing CVA via change of measures and drift adjustment (with D. Brigo)" //
++ Voir résumé | \\Abstract: A key driver of Credit Value Adjustment (CVA) is the possible dependency between exposure and counterparty credit risk, known as Wrong-Way Risk (WWR). At this time, addressing WWR in a both sound and tractable way remains challenging: arbitrage-free setups have been proposed by academic research through dynamic models but are computationally intensive and hard to use in practice. Tractable alternatives based on resampling techniques have been proposed by the industry, but they lack mathematical foundations. This probably explains why WWR is not explicitly handled in the Basel III regulatory framework in spite of its acknowledged importance. The purpose of this paper is to propose a new method consisting of an appealing compromise: we start from a stochastic intensity approach and end up with a pricing problem where WWR does not enter the picture explicitly. This result is achieved thanks to a set of changes of measure: the WWR effect is now embedded in the drift of the exposure, and this adjustment can be approximated by a deterministic function without affecting the level of accuracy typically required for CVA figures. The performances of our approach are illustrated through an extensive comparison of Expected Positive Exposure (EPE) profiles and CVA figures produced either by (i) the standard method relying on a full bivariate Monte Carlo framework and (ii) our drift-adjustment approximation. Given the uncertainty inherent to CVA, the proposed method is believed to provide a promising way to handle WWR in a sound and tractable way.
Draft: https://arxiv.org/abs/1611.02877
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**26 janvier 2017 à 15h00 :** Ibrahim EKREN (ETH Department of Mathematics) // " Portfolio choice with permanent and temporary transaction costs" //
++ Voir résumé | \\Abstract: In this talk we study the problem of optimal portfolio choice with permanent and temporary transaction costs. In a general Markovian model the objective of the agent is to maximise the discounted value of the future excess return penalised for risk. We establish an expansion of the value function of this problem when the transaction costs go to zero. We obtain a characterisation of the asymptotically optimal portfolio.This is a joint work in progress with Johannes Muhle-Karbe. .++
**__Exposés de l'année 2016__ :**
**8 Décembre 2016 à 14h00 :** Todor Bilarev (Humboldt-Universität zu Berlin) // "Optimal liquidation if resilience of price impact is stochastic" //
++ Voir résumé | \\Abstract: We solve explicitly a two-dimensional singular control problem of finite fuel type in infinite time horizon. The problem stems from the optimal liquidation of an asset position in a financial market with multiplicative price impact with stochastic resilience. The optimal control is obtained as a diffusion process reflected at a non-constant free boundary. To solve the variational inequality and prove optimality, we show new results of independent interest on constructive approximations and Laplace transforms of the inverse local times for diffusions reflected at elastic boundaries. This is joint work with Dirk Becherer and Peter Frentrup.
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**17 novembre 2016 à 14h00 :** François Bolley (Paris 6) // "Inégalités de Sobolev logarithmiques en dimension finie" //
++ Voir résumé | \\Abstract: Les inégalités fonctionnelles (de Sobolev, Sobolev logarithmiques, etc.) permettent de préciser le comportement en temps petit et en temps grand de solutions de certaines EDP d'évolution (chaleur, Fokker-Planck, milieux poreux, etc.). Par ailleurs, Felix Otto a montré que certaines de ces équations peuvent s'interpréter comme un flot gradient dans un espace de mesures de probabilité (et les inégalités fonctionnelles associées comme des propriétés de convexité de certaines fonctionnelles). On présentera ces travaux fondateurs et certains de leurs développements, classiques ou plus récents..
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**20 octobre 2016 à 14h00 :** Tepmony Sim (Télécom ParisTech) // "General-order Observation-driven Models" //
++ Voir résumé | \\Abstract: The class of observation-driven models (ODMs) includes the GARCH$(1,1)$ model as well as integer-valued time series models such as the log-linear Poisson GARCH of order $(1,1)$ and the NBIN-GARCH$(1,1)$ models. In this contribution, we treat the case of general-order ODMs in a similar fashion as the extension of the GARCH$(1,1)$ model to the GARCH$(p,q)$ model. More precisely, we establish the stationarity and the ergodicity as well as the consistency and the asymptotic normality of the maximum likelihood estimator (MLE) for the class of general-order ODMs, under conditions which are easy to verify. We illustrate these results with specific observation-driven time series, namely, the log-linear Poisson GARCH of order $(p,q)$ and the NBIN-GARCH$(p,q)$ models. An empirical study is also provided.
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**13 octobre 2016 à 14h00 :** S. Menozzi (UEVE) // "Estimées L^p et Problemes de Martingales pour les opérateurs de Kolmogorov stables dégénérés" //
**6 octobre 2016 à 15h00 :** Wissal Sabbagh (Laboratoire Manceau de Mathématiques, Université du Maine) // "Numerical Computation for Backward Doubly SDEs with random terminal time and Application for SPDEs" //
++ Voir résumé | \\ We are interested in solving numerically backward doubly stochastic differential equations (BDSDEs) with random terminal time τ. The main motivations are giving a probabilistic representation of the Sobolev’s solution of Dirichlet problem for semilinear SPDEs and providing the numerical scheme for such SPDEs. Thus, we study the strong approximation of this class of BDSDEs when τ is the first exit time of a forward SDE from a cylindrical domain. We use the Euler scheme and we provide bounds for the discrete-time approximation error.++
**9 juin 2016 à 14h00 :** Paul Gassiat (CEREMADE, Université Paris Dauphine) // "Equations de Hamilton-Jacobi stochastiques : continuité par rapport au bruit et effets régularisants" //
++ Voir résumé | \\ Dans cet exposé, nous considérons des équations paraboliques stochastiques non linéaires de la forme $du = F(t,x,u,Du,D^2 u) dt + H(x,Du) \circ dB_t$. Dans la première partie, nous indiquerons comment on peut donner un sens à cette équation, en suivant notamment les idées introduites par Lions et Souganidis basées sur la théorie des solutions de viscosité. Dans la deuxième partie de mon exposé j'expliquerai comment dans le cas où $H(x,Du)=|Du|^2$, la solution $u$ peut avoir plus de régularité que la solution de l'équation déterministe, ce qui peut être mesuré par une paire de solutions d'EDS réfléchies. Cet exposé s'appuie sur des travaux en commun avec P. Friz, B. Gess, P.L. Lions et P. Souganidis.++
**19 mai 2016 à 14h00 :** Zorana Grbac (LPMA – Université Paris Diderot) // "Existence of pricing measure(s) for multiple tenor interest rate markets" //
++ Voir résumé | \\ In the first part of the talk we provide theoretical foundations for
the existence of equivalent local martingale measures in interest rate
markets subject to multiple tenors. We consider a market in which
products related to different tenors are traded and introduce an
appropriate notion of admissible strategy, self-financing condition
and free lunch in this context. We derive the related result on no
free lunch and develop an affine framework for price processes and
multiple tenor spreads.
In the second part of the talk we present several possible extensions
of the classical HJM setup to include multiple curves and the related
martingale conditions, which ensure a well-defined notion of a fair
price in
these markets. Based on a specific interpretation of the interest
rates and the implied zero-coupon bonds in a given multiple curve
HJM-type model, we distinguish between two types of conditions:
the ones related to actually traded interest rate products and the
ones related to "fictitious" products in an enlarged market introduced
only for modeling convenience.
Based on joint works with Laurence Carassus and Wolfgang Runggaldier..++
**12 mai 2016 à 14h00 :** Aline Duarte (Université de Cergy-Pontoise) // "Estimating the interaction graph of stochastic neural dynamics" //
++ Voir résumé | \\We address the question of statistical model selection for a class of stochastic models for biological neural nets. Models in this class are systems of interacting chains with memory of variable length. Each chain describes the activity of a single neuron, indicating whether it has a spike or not at a given time. For each neuron, the probability of having a spike depends on the entire time evolution of its presynaptic neurons since the last spike time of the neuron. When the neuron spikes, its potential is reset to a resting level, and all of its postsynaptic neurons receive an additional amount of potential. The relationship between a neuron and its pre- and postsynaptic neurons defines an oriented graph, the interaction graph of the model. The goal of this paper is to estimate this graph of interactions, based on an observation of the process up to time n, within a growing sequence of observation windows. We prove the consistency of this estimator and obtain explicit error bounds for the probability of wrong estimation of the graph of interactions..++
**14 avril 2016 à 14h00 :** Radu Stoica (Universite Lille 1 - Laboratoire Paul Painleve) // "Modélisation probabiliste et inférence statistique pour l'analyse des données spatialisées" //
++ Voir résumé | \\
Cet exposé présente la construction d'une méthodologie pour détecter et caractériser les structures présentes dans des données spatialisées. Cette construction procède en trois étapes. Premièrement, un modèle de forme ou de structure est proposé à partir des données observées. Ensuite, une dynamique de simulation est construite en adéquation avec le modèle. Finalement, des procédures statistiques sont mises au point pour inférer les caractéristiques
de la structure cachée et les paramètres du modèle.
Chacune de ces étapes est attachée à un domaine particulier des probabilités et des statistiques. La modélisation repose sur des processus markovien spatiaux, comme les processus ponctuels marqués. La dynamique de simulation utilise les chaînes de Markov. L'inférence s'appuie sur l'analyse bayesienne, le recuit simulé, le maximum de vraisemblance, les tests.
La synthèse de ces trois étapes se fait au confluent de trois domaines: la géométrie aléatoire, les chaînes de Markov et les statistiques appliquées. Cette synthèse nous a permis d'aborder des applications concrètes en analyse d'image, en science de l'environnement et en astronomie..++
**31 mars 2016 à 14h00 :** Tran Viet Chi (Laboratoire Paul Painlevé, Université des Sciences et Technologies de Lille) // "Estimation non-paramétrique des indices de Sobol d'ordre 1 pour un modèle aléatoire avec une application à l'épidémiologie" //
++ Voir résumé | \\
Des indicateurs possibles, lorsque l'on cherche à déterminer l'influence marginale qu'ont différentes entrées $X=(X_1,\dots X_p)$ sur une sortie Y, sont les indices de Sobol. Pour $\ell \in \{1,\dots p\}$, l'indice de Sobol d'ordre 1 correspondant est : $S_\ell=\mbox{Var}(E(Y |X_\ell))/ \mbox{Var}(Y)$. En général, ces quantités ne sont pas calculables explicitement, mais on peut les estimer à partir de simulations Monte-Carlo de $(Y,X)$.
Le cas $Y=f(X)$ avec $f$ une fonction déterministe est bien connu. Dans le cas aléatoire $Y=f(X,\varepsilon)$, où $\varepsilon$ représente l'aléa du modèle, des méta-modèles sont souvent utilisés pour approcher l'espérance et la variance de la réponse par des fonctions déterministes. Nous considérons ici un estimateur non-paramétrique des indices de Sobol d'ordre 1 qui ne nécessite pas de méta-modèle. L'estimateur considéré est un estimateur à ondelettes déformées (warped wavelets), et nous étudions ses propriétés d'adaptativité. En nous inspirant des méthodes de Laurent et Massart (2000), nous établissons un effet seuil (elbow effect) pour la convergence de l'écart quadratique moyen, lorsque le nombre de simulations tend vers l'infini.
Une application en épidémiologie est traitée.++
**24 mars 2016 à 14h00 :** Xiaolu Tan (Université Paris-Dauphine) // "Branching diffusion representation of semilinear PDEs and Monte Carlo approximation" //
++ Voir résumé | \\
We provide a representation result of parabolic semi-linear PDEs, with polynomial nonlinearity, by branching diffusion processes. We extend the classical representation for KPP equations, introduced by Skorokhod (1964), Watanabe (1965) and McKean (1975), by allowing for polynomial nonlinearity in the pair (u,Du), where u is the solution of the PDE with space gradient Du. Similar to the previous literature, our result requires a non-explosion condition which restrict to "small maturity" or "small nonlinearity" of the PDE. Our main ingredient is the automatic differentiation technique as in Henry Labordere, Tan and Touzi (2015), based on the Malliavin integration by parts, which allows to account for the nonlinearities in the gradient. As a consequence, the particles of our branching diffusion are marked by the nature of the nonlinearity. This new representation has very important numerical implications as it is suitable for Monte Carlo simulation..++
**24 mars 2016 à 15h30 :** Claire Lacour (Université Paris-Sud 11, Orsay) // "Estimation non paramétrique pour les chaînes de Markov cachées" //
++ Voir résumé | \\
Les modèles de Markov cachés sont utilisés pour modéliser des phénomènes évoluant dans le temps et provenant de populations hétérogènes, et sont appliqués en particulier en génomique et en traitement du signal. On s'intéresse ici au cas où les observations sont à espace d'états réel (au lieu de fini). On considère ainsi une chaîne de Markov cachée (X_n,Y_n) où (X_n) est une chaîne de Markov non observée à espace d'états finis, et Y_n sachant X_n=k suit une loi absolument continue, de densité f_k. Étant donné les seules observations Y_1, ..., Y_n, on cherche à retrouver à la fois la dynamique de la chaîne cachée (c'est-à-dire sa matrice de transition) et les densités f_k. On présentera deux méthodes : l'une purement matricielle et spectrale, et la deuxième par contraste moindre carrés pénalisé. Finalement, on combinera ces deux méthodes pour obtenir un estimateur à la fois quasi-optimal en théorie (du point de vue minimax), et très performant en pratique.++
**17 mars 2016 à 14h00 :** Fontana Claudio (LPMA – Université Paris Diderot) // "Optimal investment under no unbounded profit with bounded risk" //
++ Voir résumé | \\
We consider the problem of optimal investment with the possibility of intermediate consumption in a general semimartingale model of an incomplete market, with preferences being represented by utility stochastic fields. In this context, we show that a full duality theory can be established as long as there is no unbounded profit with bounded risk. This condition is equivalent to the existence of an equivalent local martingale deflator and is weaker than the classical notion of no free lunch with vanishing risk. In particular, we generalize several previous results on utility maximization in the absence of martingale measures. Based on joint work with N.H. Chau, A. Cosso and O. Mostovyi.
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**25 février 2016 à 14h00 :** Giorgia Callegaro ( University of Padova) // "Utility indifference pricing and hedging for structured contracts in energy markets." //
++ Voir résumé | \\
In this paper we study the pricing and hedging of structured products in
energy markets, such as swing and virtual gas storage, using the exponential utility indifference pricing approach in a general incomplete multivariate market model driven by finitely many stochastic factors. The buyer of such contracts is allowed to trade in the forward market in order to hedge the risk of his position.
We fully characterize the buyer's utility indifference price of a given product in terms of continuous viscosity solutions of suitable non-linear PDEs.
This gives a way to identify reasonable candidates for the optimal
exercise strategy for the structured product as well as for the corresponding hedging strategy.
Moreover, in a model with two correlated assets, one traded and one nontraded, we obtain a representation of the price as the value function of an
auxiliary simpler optimization problem under a risk neutral
probability, that can be viewed as a perturbation of the minimal
entropy martingale measure.
Finally, numerical results are provided..++
**18 février 2016 à 14h00 :** Sigrid Kallblad (École Polytechnique) // "Model-Independent bounds for Asian Options: A dynamic Programming Approach." //
++ Voir résumé | \\
We consider the problem of finding model-independent bounds on the price of an Asian option, when the call prices at the maturity date of the option are known. Our method di ffer from most approaches to model-independent pricing in that we consider the problem as a dynamic programming problem, where the controlled process is the conditional distribution of
the asset at the maturity date. By formulating the problem in this manner, we are able to determine the model-independent price through a PDE formulation. Notably, this approach does not require specific constraints on the payoff function (e.g. convexity), and would appear to be generalisable to many related problems. This is joint work with A.M.G. Cox..++
**28 janvier 2016 à 14h00 :** Samuel Drapeau (Shanghai Jiao Tong University) // "Risk Assessment: Marginal and Systemic Dimensions." //
++ Voir résumé | \\
The financial 2007/2008 crisis revealed that too few attention was paid to a sound risk and uncertainty management in particular in its systemic dimension. In this seminar, we present a general overview of risk assessment and the different goals of which (marginal and systemic risk assessment). We will introduced a risk measure designed to address the global and intrinsic risk of multidimensional interconnected system such as banks or counter-party risk in a central clearing house. The goal is two fold: on the one hand, it provides the total amount of liquidity that has to be reserved for the system to overcome financial stress situations. On the other hand, it addresses the respective amount that each member has to reserve in function of their exposure to the whole system and the systemic risk they put on the system. We finally address the quantitative aspects by presenting how these high dimensional computations can be solved efficiently..++
**21 janvier 2016 à 14h30 :** Agathe Guilloux (LSTA) // "Apprentissage statistique pour données observationnelles
longitudinales (longitudinal observational data)." // Attention horaire exceptionnel : 14h30-15h30 \\
++ Voir résumé | \\
A partir de cinq exemples de données (cliniques, issues d'un entrepôt d'hopital, d’un système de santé, d’une mutuelle santé et marketing), nous montrons les nouveaux challenges statistiques que présentent ces données, et les questions associées. Des modèles de regression dynamique en grande dimension et pour temps d'occurrence seront introduits. Je présenterai ensuite les procédures d'estimation dans
ces modèles, quelques les résultats obtenus, et les aspects algorithmiques (calcul des estimateurs). Enfin je présenterai des extensions possibles des modèles présentés.
++
**21 janvier 2016 à 13h30 :** Jean-Francois JABIR ( CIMFAV, Facultad de Ingenieria,
Universidad de Valparaiso.) // "Sur un modèle de Langevin avec condition de réflexion spéculaire." // Attention horaire exceptionnel : 13h30-14h30 \\
++ Voir résumé | \\
Dans cet exposé sera abordé le problème de l'existence et de
l'unicité lié à un modèle de Langevin confiné dans un domaine borné de
$R^d$ et soumis
à une condition de réflexion spéculaire au bord de ce domaine. De manière
générale,
le modèle décrit à chaque instant, la position et la vitesse d'une
particule stochastique dont la dynamique en
vitesse est gouvernée par un mouvement brownien et un terme de confinement
assurant le confinement de la particule au sein du domaine de confinement
et modélisant les interactions entre la particule et la paroi.
Après un bref exposé du modèle général et des différents problèmes
théoriques associés, nous présenterons un résultat d'existence et d'unicité
dans le cadre d'une dynamique confinée comprenant un terme de drift
singulier. Les techniques de preuve combinent à la fois l'analyse
stochastique, l'analyse
d'edp cinétiques et les problèmes de trace associés.
Ce travail a été mené en collaboration avec Mireille Bossy, équipe TOSCA,
INRIA Sophia-Antipolis Méditerranée.++
**14 janvier 2016 à 14h00 :** Alexandros Saplaouras (Technische Universität Berlin) // "Towards the robustness property of backward stochastic differential equations with jumps." //
++ Voir résumé | \\
The term robustness in the literature of backward stochastic differential equations, hereinafter BSDE, or BSDEJ in the case a jump part exists, stands for the following property: given a (suitable) approximation $\mathcal{D}^n=\left(M^n, \xi^n, f^n\right)$ of the data $\mathcal{D}=\left(M, \xi, f\right)$ of the BSDE of interest, the solution of the $\mathcal{D}^n$-BSDE converges to the solution of the $\mathcal{D}$-BSDE.
Motivated by the work of P. Briand, B. Delyon and J. Memin for robustness of BSDEs driven by the Brownian motion, we want to prove that the same holds when a BSDEJ is driven by a square integrable, quasi-left-continuous martingale, let $M$. In the general framework we regard as data the sextuple $\mathcal{D}=\left(M, \mathbb{F}, T, \xi, f, C\right)$, i.e. we will work with the (general) filtration $\mathbb{F}$, the $\mathbb{F}$-stopping time $T$ and the Lebesgue-Stieltjes integrator $C$.
This work is in progress. However, on the way to obtain the result, we have overcome two intermediate problems. The first is to guarantee the existence and uniqueness of solutions of BSDEJ driven by a square integrable martingale, which is not necessarily quasi-left continuous. It generalises the one given by E. Karoui and S. J. Huang, covering the quasi-left continuous case and, moreover, it enables us to treat under the same framework both continuous and discreet times BSDEJ. The latter case is referred in the literarure as BS$\Delta$EJ. The second one is the robustness of martingale representations under different filtrations, a result which generalises the one given by J. Jacod, S. M\'el\'eard and P. Protter.
Once the result is obtained, the Euler scheme for the $\mathcal{D}$-BSDEJ is immediately obtained. In the case of a L\'evy martingale $M$, the robustness for discrete time approximations is given by D. Madan, M. Pistorius and M. Stadje, a result which can be seen as a special case of the general framework.++
**7 janvier 2016 à 14h30 :** Etienne Roquain (UPMC) // "A la recherche d'éléments statistiquement significatifs avec le test multiple." // Attention horaire exceptionnel : 14h30-15h30 \\
++ Voir résumé | \\
Chercher une aiguille dans une botte de foin est le défi quotidien posé
par l'analyse statistique des données massives (en neuro-imagerie ou en
génomique par exemple).
A cette fin, de nombreuses stratégies statistiques ont été mises en place,
souvent basées sur des modèles dits de "grande dimension".
Dans cet exposé, nous explorons la méthodologie liée au test multiple
d'hypothèses, qui a rencontré un engouement particulièrement important ces
dernières décennies, notamment après le fameux papier de Benjamini et
Hochberg (1995). Nous débuterons par une partie non-technique qui nous
permettra de nous familiariser avec le problème. Le deuxième volet de
l'exposé présentera certains aspects de ma recherche dans ce domaine, en
particulier pour traiter le problème délicat de la dépendance entre les
tests.++
**10 décembre 2015 à 14h00 :** Stefano Pagliarani (École Polytechnique) // "Analytical approximations of BSDEs with non-smooth driver" //
++ Voir résumé | \\
We provide and analyze analytical approximations of BSDEs in the limit of small non-linearity and short time, in the case of non-smooth drivers. We identify the first and the second order approximations within this asymptotics and consider two topical financial applications: the two interest rates problem and the Funding Value Adjustment. In high dimensional diffusion setting, we present numerical tests to illustrate the efficiency of the numerical schemes. Finally, we discuss the limit of this approach by assessing the possibility of higher order expansions.++
**__Exposés de l'année 2015__ :**
**3 décembre 2015 à 14h00 :** Thibaut Mastrolia (Paris Dauphine) // "Moral hazard under Ambiguity" //
++ Voir résumé | \\
In this talk, we study a Principal/Agent model by adding uncertainty about the volatility of the output for both the agent and the principal. We study more precisely the impact of the "Nature" playing against the Agent and the Principal by choosing the worst possible volatility of the output. We solve the first-best and the second-best problems associated with this framework and we show that optimal contracts are in a class of contracts, similar to those obtained by Cvitanic, Possamaï and Touzi, linear with respect to the output and its quadratic variation. We compare our results with the classical Holmström and Milgrom problem. This talk is based on a joint work with Dylan Possamaï.++
**26 novembre 2015 à 14h00 :** Nicolas Baradel (ENSAE ) // "Optimal Control of Trading Algorithms and Bayesian parameters adjustments " //
++ Voir résumé | \\
We propose a general framework for the optimal control/design of trading algorithms in situations where the impact parameters are uncertain. Given a prior on the distribution of the unknown parameters, we explain how it should evolve according to the classical Bayesian rule after each sequence of trades. Taking these progressive prior-adjustments into account, we establish a dynamic programming principle for the value function associated to the optimal control of a trading algorithm. This leads to a characterization of the optimal policy through a quasi-variational parabolic equation, which can be solved numerically. Various examples of application are discussed.++
**19 novembre 2015 à 14h00 :** Martin Larsson (ETH) // "Conditional infimum and maxima of martingales" //
++ Voir résumé | \\
I will discuss the possibly surprising result that the running maximum process of a positive supermartingale can be reconstructed from its global maximum. An interesting corollary is that any positive local martingale can be reconstructed from its final value and its global maximum. I will briefly touch on connections to filtration enlargement theory as well as Skorokhod embedding. Crucial for these results is the notion of conditional infimum.++
**12 novembre 2015 à 14h00 :** Ankush Agarwal (École Polytechnique) // "Rare event simulation related to financial risks: efficient estimation and sensitivity analysis " //
++ Voir résumé | \\
We develop the reversible shaking transformation methods on path space to estimate the rare event statistics arising in different financial risk settings which are embedded within a unified framework of isonormal Gaussian process. Namely, we combine splitting methods with both Interacting Particle System (IPS) technique and ergodic transformations using Parallel-One-Path (POP) estimators. We also propose an adaptive version for the POP method and prove its convergence. We demonstrate the application of our methods in various examples which cover usual semi-martingale stochastic models (not necessarily Markovian) driven by Brownian motion and, also, models driven by fractional Brownian motion (non semi-martingale) to address various financial risks. Interestingly, owing to the Gaussian process framework, our methods are also able to efficiently handle the important problem of sensitivities of rare event statistics with respect to the model parameters.++
**6 novembre 2015 à 14h00 :** Anthony Réveillac (INSA de Toulouse) // "Sur une nouvelle caractérisation des espaces de Malliavin-Sobolev et application à l’étude des Equations Différentielles Stochastiques Rétrogrades " //
++ Voir résumé | \\
Dans cet exposé nous présenterons une nouvelle caractérisation des espaces de Malliavin-Sobolev. Nous verrons que cette dernière est particulièrement utile pour démontrer le caractère Malliavin différentielle des solutions d’équations différentielles stochastiques rétrogrades. Ce exposé est basé sur des travaux en collaboration avec Peter Imkeller, Thibaut Mastrolia et Dylan Possamaï.++
**22 octobre 2015 à 14h00 :** Abass Sagna (ENSIIE) // "Markovian and product quantization of an $\mathbb{R}^d$-valued Euler scheme of a diffusion process with an application to Heston model" //
++ Voir résumé | \\
We introduce a new approach to quantize an $\mathbb{R}^d$ valued Euler scheme of a diffusion process which results from the discretization of a diffusion process using the Euler scheme. This method is based on a Markovian and componentwise product quantization and allows us, from the numerical point of view, to speak of fast quantization in dimension greater than one since the product quantization of the Euler scheme of the diffusion process and its companion weights and transition probabilities may be computed instantaneously from the Newton Raphson algorithm. We show that the resulting quantization process is a Markov chain, then, we compute the associated companion weights and transition probabilities (for the quantized process and for its components) using closed formulas. From the analytical point of view, we show that the induced quantization error at the discretization step $t_k$ is a cumulation of the marginal quantization error up to time $t_k$. Numerical experiments are performed for the pricing of a European call option in a Heston model to show the performances of the method..++
**8 octobre 2015 à 14h00 :** Umberto Cherubini (Università Di Bologna) // "Marking-to-market systemic credit risk: Application to the European banking system" //
++ Voir résumé | \\
We provide a tractable model for the evaluation of the probability of a systemic credit risk shock to a cluster, defined as a shock that brings about the default of all the elements at the same time, allowing for contagion, that is a dependence structure between the idiosyncratic shocks and the systemic one. We call the model Gumbel-Marshall-Olkin (GMO), because it is an extension of the Marshall-Olkin model in which the occurrence times of the unobserved shocks are linked by a a Gumbel copula. If the model is well specified, it can be used to mark-to-market and trade a credit derivative written on the systemic shock. We show that in a
pure Marshall-Olkin setting, the value of this contract is proportional to the credit index (in the same meaning of iTraxx, CDX and the like) of the cluster, and contagion introduces a bias. We show how to evaluate and validate the model on bank clusters of 8 European countries throughout the crisis. Empirically, we show that the model provides a good representation for clusters of banks in Spain, Portugal, France and the Netherlands, while it fails in the other four banking systems considered (Italy, UK, Greece and particularly Germany).
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**1 octobre 2015 à 14h00 :** Antonis Papapantaleon (TU Berlin) // "An equilibrium model for spot and forward prices of commodities" //
++ Voir résumé | \\
The aim of this project is to determine the forward price of a consumption commodity via the interaction of agents in the spot and forward commodity market. We consider a market model that consists of three agents: producers of the commodity, consumers and financial investors (sometimes also called speculators). Producers produce a fixed amount of the commodity at each time point, but can choose how much they offer in the spot market and store the rest for selling at the next time period. They also have a position in forward contracts in order to hedge the commodity price uncertainty. Consumers are setting the spot price of the commodity at each time point by their demand. Finally, investors are investing in the financial markets and, in order to diversify their portfolios, also in the forward commodity market. The equilibrium prices for the commodity are the ones that clear out the spot and forward markets. We assume that producers and investors are utility maximizers and have exponential preferences, while the consumers' demand function is linear. Moreover, the exogenously priced financial market and the demand function are driven by Lévy processes. We solve the maximization problem for each agent and prove the existence of an equilibrium. This setting allows to derive explicit solutions for the equilibrium prices and to analyze the dependence of prices on the model parameters and the agent's risk aversion. This is joint work with Michail Anthropelos and Michael Kupper.++
[[http:// arxiv.org/abs/1502.00674|Preprint ArXiv]]
**30 juin 2015 à 14h00 :** Toby Dylan Hocking (McGill University, Montréal) // "PeakSegJoint: fast supervised peak detection via joint segmentation of multiple count data samples" //
[[http://arxiv.org/abs/1506.01286|Preprint ArXiv]]
**18 juin 2015 à 14h00 :** Olivier Feron (EDF-chaire FIME) // "Modeling spot, forward and option prices of several commodities in the energy market: an econometric approach" //
++ Voir résumé | \\
We propose a joint modeling of spot, forward and option prices of several commodities in the Energy market, using recent developments in discrete time asset pricing methods based on the notions of stochastic discount factor and of Compound Autoregressive (or affine) stochastic processes. We show that this approach provides quasi-explicit formulae for forward and spread option prices, while allowing for a large flexibility in the modeling of dynamics, spikes and seasonality, both in the historical and the risk neutral worlds. This work is a direct extension of [2] in which this approach is applied on the electricity prices. In this work we model jointly the electricity prices as well as fuel prices, taking into account the storability properties of the latter by introducing the convenience yield. The proposed model is therefore a multivariate model with discrete latent variable for the regime switching representation, and also continuous latent variable (the convenience yield). In this context we propose an iterative approach for calibrating the model and we show an illustration in the UK Market with a model on power and gas prices.\\
References \\
[1] [Gourieroux & Monfort 2007] C. Gourieroux and A. Monfort, ”Econometric specifications of stochastic discount factor models”, Journal of Econometrics, 136(2): 509–530, 2007. \\
[2] [Monfort & Feron 2012] A. Mofort and O. F´eron, ”Joint econometric modeling of spot electricity prices, forwards and options”, Review of derivatives research, 15(3):217– 256, 2012. \\
[3] [Monfort & Pegoraro] A. Monfort and F. Pegoraro, ”Switching VARMA term structure models”. Journal of Financial Econometrics, 5(1): 105–153, 2007.++
**11 juin 2015 à 14h00 :** Jiatu Cai (École Polytechnique) // "Asymptotic replication with modified volatility and proportional transaction costs" //
++ Voir résumé | \\
We consider the dynamic hedging of an European option under a general local volatility model with small proportional transaction costs. Extending the approach of Leland, we introduce a class of continuous strategies of finite cost that asymptotically (super-)replicates the payoff. An associated central limit theorem of hedging error is proved. We obtain also an explicit trading strategy minimizing the asymptotic error variance..++
**28 mai 2015 à 14h00 :** Plamen Turkedjiev (École Polytechnique) // " Adaptive importance sampling in linear regression algorithms for BSDEs" //
++ Voir résumé | \\
We introduce an importance sampling technique for backward stochastic differential equations (BSDEs) that minimizes the conditional variance occurring in linear least- squares regression algorithms. The Radon-Nikodym derivative depends on the solution of BSDE, and therefore requires a random initialization procedure to implement. We introduce novel methods to analyze the error: firstly, we need norm stability results due to the random initialization; secondly, we avoid using concentration of measure techniques. Our theoretical results are supported by numerical experiments.++
**21 mai 2015 à 14h00 :** Dasha Loukianova (UEVE) // "pour les vrais néophytes, mesures aléatoires de Poisson" //
**7 mai 2015 à 14h00 :** Philip Protter (Columbia University) // "" The Empirical Distribution of the Lifetimes of Financial Bubbles" //
++ Voir résumé | \\
The mathematical modeling of financial bubbles has become a somewhat popular topic over the last 9 years. Together with Younes Kchia and Bob Jarrow, we have developed a test that can determine when a given nonnegative price process is in a bubble or not, which amounts to determining if it is a strict local martingale under a risk neutral measure, or simply a martingale. We use this idea, refine it, and apply it to a large data set of tick data for over 3000 stocks for a period of over 10 years. We determine that, subject to certain caveats, the empirical distribution of the lifetime of financial bubbles follows a generalized gamma distribution. This is the first result we know of giving the distribution of the lifetime of financial bubbles.++
**23 avril 2015 à 14h00 :** Mihail Zervos (London School of Economics) // "Optimal execution with multiplicative price impact" //
**23 avril 2015 à 15h30:** Florian Maire (ECD Dublin) // "Echantillonage par chaîne de Markov adaptative utilisant une loi de mélange incrémentale" //
++ Voir résumé | \\
Les méthodes de Monte Carlo par chaîne de Markov (MCMC) dites adaptatives offrent un moyen relativement simple pour un utilisateur de simuler suivant une loi cible compliquée car, contrairement aux méthodes MCMC traditionnelles, le choix explicite d'un noyau transition ne lui incombe pas. Elles s'appuient en effet sur des chaînes de Markov dont le noyau de transition évolue continuellement, de façon aléatoire (et transparente pour l'utilisateur), utilisant les états précédents de la chaine pour améliorer l'exploration de l'espace d'état et accélérer la convergence de l'échantillonneur. Dans la plupart des méthodes adaptatives, les noyaux de transition sont restreints à une famille paramétrique et le mécanisme d'adaptation consiste _a optimiser ces paramètres (pour certains critères e.g taux d'acceptation, auto corrélation de la chaine, divergence par rapport _a la loi cible, etc.).
Nous nous intéressons aux deux limitations suivantes :
(i) le choix d'une famille paramétrique pour le noyau de transition peut contraindre
l'adaptation, (ii) l'optimisation stochastique du noyau de transition peut s'avérer délicat à mettre en oeuvre et, "contrarie quelque peu l'esprit MCMC".
Nous présenterons AIMM (Adaptive Incremental Mixture MCMC), une méthode MCMC adaptive adoptant une approche différente, contournant (i) et (ii). C'est un échantilloneur qui repose sur un noyau de proposition indépendant défini comme un modèle de mélange incremental. L'idée est de réduire, progressivement et de façon non-paramétrique, la discrépance entre la loi cible et le noyau de proposition en utilisant les poids d'importances (cf Importance Sampling), en augmentant la masse de probabilité du noyau de proposition la où la discrépance est importante.
Les points d'intérêt concernent : le mécanisme d'incrémentation du noyau de transition, l'ergodicité de l'algorithme AIMM et les connexions entre méthodes MCMC et méthodes particulaires. Nous illustrerons l'efficacité de AIMM sur différentes lois cibles (multimodales, _a large queue, en dimension élevée) en comparant avec d'autres méthodes MCMC adaptatives.
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**16 avril 2015 à 14h00 :** Ismaël Castillo (CNRS, LPMA Paris) // "Arbres de Polya et estimation bayésienne de densité" //
++ Voir résumé | \\
Les arbres de Polya sont une classe de mesures de probabilité aléatoires, qui a été proposée comme loi a priori, dans un cadre Bayésien, pour l’estimation de la loi d’un échantillon i.i.d. de variables aléatoires. Dans le cadre du problème de l’estimation de densité, sous certaines conditions les arbres de Polya produisent des loi a posteriori asymptotiquement consistantes au sens de la distance de Hellinger.\\
Dans cet exposé, après avoir présenté quelques propriétés générales des arbres de Polya, je montrerai que le résultat de consistance précédent peut être précisé dans deux directions 1) des vitesses de convergence peuvent être obtenues 2) il est possible de caractériser la forme limite de la loi a posteriori dans un sens fonctionnel. Je présenterai quelques applications à des résultats de type Donsker pour la fonction de répartition a posteriori et à l’étude de certaines fonctionnelles de la densité.++
**2 avril 2015 à 14h00 :** Sergio Pulido (ENSIIE/Evry) // "Financial Models with Defaultable Numéraires" //
++ Voir résumé | \\
Financial models are studied where each asset may potentially lose value relative to any other. To this end, the paradigm of a pre-determined numéraire is abandoned in favor of a symmetrical point of view where all assets have equal priority. This approach yields novel versions of the Fundamental Theorems of Asset Pricing, which clarify and extend non-classical pricing formulas used in the financial community. Furthermore, conditioning on non-devaluation, each asset can serve as numéraire and a classical no-arbitrage condition be formulated. It is shown when and how these local conditions can be aggregated to a global no-arbitrage condition.++
**26 mars 2015 à 14h00 :** Roxana Dumitrescu (CEREMADE, Université Paris 9 Dauphine) // "Mixed Stochastic Control/Optimal Stopping Problems with f-expectations" //
**26 mars 2015 à 15h00 :** Stéphane Crépey (Atelier Sauts 1)
// "calcul stochastique pour PP et PPC"//
**19 mars 2015 :** Areski Cousin (ISFA, Université Lyon 1) // " On Mutivariate Extensions of Value-at-risk and Conditional-Tail-Expectation " \\
++ Voir résumé | \\
We propose two alternative extensions of the classical univariate Value-at-Risk (VaR) and Conditional-Tail-Expectation (CTE) in a multivariate setting (see [1] and [2]). The proposed multivariate risk measures are vector-valued measures with the same dimension as the underlying portfolio of risks. As for the multivariate Value-at-Risk measures introduced in [1], the lower- orthant CTE (resp. the upper-orthant CTE) is constructed from level sets of multivariate distribution functions (resp. of multivariate survival distribution functions). Contrary to allocation measures or systemic risk measures, these measures are also suitable for multivariate risk problems where risks are heterogenous in nature and cannot be aggregated together. Several properties have been derived. In particular, we show that the proposed multivariate VaR-s and CTE-s satisfy natural extensions of the positive homogeneity property, the translation invariance property and the comonotonic additivity property. Comparison between univariate risk measures and components of multivariate VaR and CTE are provided. We also analyze how these measures are impacted by a change in marginal distributions, by a change in dependence structure and by a change in risk level. Sub-additivity of the proposed multivariate CTE-s is provided under the assumption that all components of the random vectors are independent. Illustrations are given in the class of Archimedean copulas.
References
[1] A. Cousin and E. Di Bernardino, On Multivariate Extensions of Value-at-Risk, Journal of Multivariate Analysis 119,32-46 (2013)
[2] A. Cousin and E. Di Bernardino, On Multivariate Extensions of Conditional-Tail-Expectation, Insurance: Mathematics and Economics, 55, 272-282 (2014) .++//
**12 mars 2015 :** Florence Merlevede (LAMA, Université Paris-Est Marne-la-Vallée) // " Approximation forte pour des fonctionnelles additives de chaînes de Markov géométriquement ergodiques" // Attention horaire exceptionnel : 14h30-15h30 \\
++ Voir résumé | \\
Dans cet exposé, on s'intéressera à des résultats d'approximation forte de type Komlos-Major-Tusnady pour des fonctionnelles additives de chaînes de Markov. Dans le cas de fonctionnelles bornées d'une chaîne de Markov stationnaire, Harris récurrente et géométriquement ergodique, on montrera qu'il est possible d'approximer le processus des sommes partielles par un mouvement Brownien avec une erreur d'approximation en O(log n) presque sûrement. Cet exposé est issu d'un travail en commun avec Emmanuel Rio.++
**29 janvier 2015 :** Alexandre Boumezoued (Université Pierre et Marie Curie) // "TBA" // \\
++ Voir résumé |\\
Hawkes processes are a class of counting processes with self-exciting dynamics which are extensively used for a variety of applications. Such processes have been introduced in the recent years in finance, covering topics such as credit risk, contagion and market microstructure. The popularity of Hawkes processes seems due to its natural formulation through its shot-noise intensity, but also to its nice interpretation in
terms of branching (or clustering) mechanism.
The aim of this talk is to construct a birth dynamics with ages underlying the Hawkes process, which can be recovered as the population size. The population is constructed as a measure-valued process solution to stochastic equations driven by Poisson point measures. Our approach seems to reconcile the intensity process definition and the branching representation.
The virtue of the population representation is to keep track of all past events through the age pyramid. As an application, we compute some distribution properties of the Hawkes process with fertility functions satisfying linear ordinary differential equations. This appears to be a natural extension of the previous studies on the Hawkes process with exponential fertility function.
The last part of the talk is dedicated to wider class of Hawkes processes including both self-excited and externally excited patterns. These have gained attention in finance to model the impact of external shocks such as news or defaults. We will construct the underlying multi-type dynamics of such processes to which our methodology to compute distribution properties could be also applied.++
**15 janvier 2015 :** Christophe Profeta (Université d'Evry) // "Persistance et enroulements du processus de Kolmogorov stable" //
**__Exposés de l'année 2014__ :**
**11 décembre 2014 :** Vincent Bensaye (CMAP, Ecole polytechnique) // "Branchement en environnement aléatoire et division
cellulaire" // \\
++ Voir résumé | \\
Les processus de branchement en environnement aléatoire apparaissent
dans des modèles pour la division cellulaire lorsqu'on étudie un agent à
l'intérieur de la cellule qui se multiplie aléatoirement (sans
interaction) et que la population d'agent est partagée aléatoirement au
moment de la division. Nous étudierons comment le comportement en temps
long et les événements rares des processus de branchement en
environnement aléatoire renseignent sur la dynamique de la population
cellulaire et font apparaître différents régimes.++
**4 décembre 2014 :** Emilio Barucci (Politecnico di Milano) // "Health insurance, portfolio choices, and retirement in incentives" //
**27 novembre 2014 :**
Hilmar Mai (WI Berlin) //"Statistical inference for Lévy-driven SDEs: drift estimation and jump filtering"// \\
++ See abstract | \\
We review recent developments in the field of statistics for
Lévy-driven jump diffusion processes. In opposite to classical
estimation theory for SDEs driven by Brownian motion the jump case
poses several new challenges. We will discuss some techniques to
tackle these challenges for estimation of drift and volatility. In
order to obtain a feasible estimation problem a jump filtering step
becomes necessary followed by the actual estimation of coefficient
under consideration. After the general overview we will go into more
details for the drift estimation problem and present efficient
estimators. Finally, we discuss some numerical examples. ++
**13 novembre 2014 :** Philip Protter (Columbia University) //"Strict Local Martingales" // \\
++ See abstract | \\
We present the case for why strict local martingales are important in several disparate areas of finance (bubbles, illusory arbitrage, stochastic volatility, NFLVR), as well as having some intrinsic interest. We will show how one can construct examples of local martingales and in particular strict local martingales with jumps, essentially at will. This involves the concept of filtration shrinkage. We will also give conditions for when the compensators of the jump times are absolutely continuous.++
**6 novembre 2014 :** Paolo Pigato (Université Paris-Est)
// "Tube estimates for Asian type stochastic differential equation" //
**9 octobre 2014 :** Samuel Drapeau (Humboldt-Universität zu Berlin)
// "Minimal Super Solutions of BSDE: Hedging, Duality, Markov Property "//
**2 octobre 2014 :** Stefan Ankirchner (Universitat Jena)
// "A generalized Donsker theorem and approximating SDEs with irregular coefficient"//