Philippe SOUPLET (paris-Nord)

Singularités des solutions de l'équation de Hamilton-Jacobi diffusive

Nous considérons l'équation de Hamilton-Jacobi diffusive $u_t-\Delta u=|\nabla u|^p$, avec conditions de Dirichlet homogènes, qui joue un rôle important en théorie du contrôle stochastique. Malgré sa simplicité, elle présente, dans le cas surquadratique $p>2$, une variété de comportements intéressants et surprenants et nous discuterons deux classes de phénomènes:

- Explosion du gradient (GBU): localisation des singularités au bord, explosion en seul point, vitesses d’explosion, profils en espace et temps-espace, théorèmes de type Liouville et applications;

- Continuation après GBU en une solution globale de viscosité: GBU avec ou sans perte de conditions au bord (LBC), récupération des conditions au bord (RBC) avec ou sans régularisation, GBU, LBC et RBC en des temps multiples.

Cet exposé est basé sur une série de travaux en collaboration with A. Attouchi, R. Filippucci, Y. Li, N. Mizoguchi, A. Porretta, P. Pucci, Q. Zhang.