Raphaël DANCHIN (Créteil)

Existence globale pour le système de Navier-Stokes incompressible à densité variable en dimension deux, et interpolation dynamique.

On s’intéresse au système de Navier-Stokes inhomogène (NSI) régissant l’évolution de fluides qui, bien qu’incompressibles, sont à densité variable. Ce système est un couplage entre une équation de transport pour la densité, et une équation d’évolution ressemblant fort à l’équation de Navier-Stokes « classique » pour la vitesse. Comme pour le cas à densité constante, on sait depuis l’article fondateur de Kazhikhov en 1974 que toute donnée initiale à vitesse d’énergie finie et à densité bornée strictement positive engendre une solution faible globale d’énergie finie pour (NSI). Mais, sauf dans le cas à densité constante et en dimension deux, on ne sait pas si ces solutions sont uniques. Dans cet exposé on donnera une condition suffisante sur la vitesse initiale, à peine plus forte que la condition d’énergie finie, assurant l’existence et l’unicité pour (NSI) en dimension deux. On n’impose aucune condition de petitesse sur les données initiales, et aucune régularité sur la densité. La solution construite admet un flot continûment différentiable, ce qui assure la persistance des interfaces de discontinuité pour la densité, par exemple. La démonstration repose sur des arguments d’énergie et d’interpolation élémentaires, qui sont valables aussi bien dans le cas de l’évolution dans le plan entier, que dans un domaine borné.